Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội phần Toán có đáp án - Đề số 18

Gọi \(a,b,c\) là ba số cần tìm theo thứ tự lập thành cấp số cộng \(\left( {a,b,c \in A} \right)\)

Suy ra có \(b = \frac{{a + c}}{2} \Leftrightarrow a + c = 2b\).

\( \Rightarrow \) Tổng \(\left( {a + c} \right)\) là số chẵn, và khi có \(\left( {a + c} \right)\) là số chẵn thì chỉ có duy nhất 1 giá trị \(b\) thỏa mãn.

Tập hợp \(A = \left\{ {10;11;12; \ldots ;48;49;50} \right\}\) có 41 phần tử gồm 21 phần tử số chẵn và 20 phần tử số lẻ.

\(n\left( {\rm{\Omega }} \right) = C_{41}^3\).

TH1: \(a,c\) là các số chẵn có \(C_{21}^2\) cách chọn.

TH2: \(a,c\) là các số lẻ có \(C_{20}^2\).

\( \Rightarrow \) Số cách lấy ngẫu nhiên ba số từ tập hợp \(A\) lập được thành cấp số cộng là \(n\left( A \right) = C_{21}^2 + C_{20}^2\).

Vây xác suất cần tìm là: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( {\rm{\Omega }} \right)}} = \frac{{C_{21}^2 + C_{20}^2}}{{C_{41}^3}} = \frac{{20}}{{533}}\). Chọn A.

Ta có: \(\overrightarrow {AO'}  = \overrightarrow {AO}  + \overrightarrow {OO'}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'} \).

\(\overrightarrow {DB}  = \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD} \).

\(\overrightarrow {C'B}  = \overrightarrow {CC'}  + \overrightarrow {CB}  =  - \overrightarrow {AA'}  - \overrightarrow {AD} \).

Mà \(\overrightarrow {AO'}  = m\overrightarrow {DB}  + n\overrightarrow {C'B} \)

\( \Rightarrow \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'}  = m(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD} ) + n\left( { - \overrightarrow {AA'}  - \overrightarrow {AD} } \right)\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{2} = m}\\{\frac{1}{2} =  - m - n}\\{1 =  - n}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = \frac{1}{2}}\\{n =  - 1}\\{\frac{{ - 1}}{2} + 1 = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.} \right.\) .

Vậy \(m + n = \frac{{ - 1}}{2}\).

Đáp án cần nhập là: \( - 0,5\).

Xét phương trình

\(C_n^0 + 2C_n^1 + {2^2}C_n^2 +  \ldots {2^n} \cdot C_n^n = 243\)

Xét khai triển:

\({\left( {1 + x} \right)^n} = C_n^0 + xC_n^1 + {x^2}C_n^2 +  \ldots  + C_n^n{x^n}\)

Cho \(x = 2\), thay vào: \({\left( {1 + x} \right)^n} = C_n^0 + xC_n^1 + {x^2}C_n^2 +  \ldots  + C_n^n{x^n}\) ta có:

\({3^n} = C_n^0 + 2C_n^1 + {2^2}C_n^2 +  \ldots  + {2^n}C_n^n\)

\( \Rightarrow {3^n} = 243 = {3^5}\)

\( \Rightarrow n = 5\)

Xét khai triển:

${\left(x^4-\frac{1}{x^3}\right)}^5=\underset{k=0}{\overset{5}{}}{C}_n^k{\left(x^4\right)}^{5-k}.{\left(\frac{-1}{x^3}\right)}^k$ $=\underset{k=0}{\overset{5}{}}{C}_n^k{x}^{20-4k}\cdot {\left(-1\right)}^k\cdot x^{-3k}=\underset{k=0}{\overset{5}{}}{C}_n^k{x}^{20-7k}\cdot {\left(-1\right)}^k$.

Số hạng chứa \({x^6} \Leftrightarrow 20 - 7k = 6 \Rightarrow k = 2\).

Vậy hệ số của \({x^6}\) trong khai triển là: \(C_5^2 = 10\)

Đáp án cần nhập là: \(10\).

Gọi (*) là hệ bất phương trình có miền nghiệm \({\rm{OABC}}\)

Do miền nghiệm \({\rm{OABC}}\) có kể cả bờ nên các bất phương trình đều nhận dấu bằng.

Bờ chứa \({\rm{OA}}\) là đường thẳng \(x = 0\).

Điểm \({\rm{C}}\left( {2;0} \right)\) thuộc miền nghiệm \({\rm{OABC}}\) và \(2 \ge 0\) nên \({\rm{x}} \ge 0\) là một bất phương trình của (*).

Bờ chứa \(OC\) là đường thẳng \(y = 0\).

Điểm \(A\left( {0;6} \right)\) thuộc miền nghiệm \(OABC\) và \(6 \ge 0\) nên \(y \ge 0\) là một bất phương trình của (*).

Bờ chứa \(BC\) là đường thẳng \(x - y = 2\).

Điểm \(O\left( {0;0} \right)\) thuộc miền nghiệm \(OABC\) và \(0 - 0 \le 2\) nên \(x - y \le 2\) là một bất phương trình của (*).

Bờ chứa \(AB\) là đường thẳng \(x + y = 6\). Điểm \(O\left( {0;0} \right)\) thuộc miền nghiệm \(OABC\) và \(0 + 0 \le 6\) nên \(x + y \le 6\) là một bất phương trình của (*).

Vậy miền nghiệm \(OABC\) là miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{x - y \le 2}\\{x + y \le 6}\end{array}} \right.\). Chọn D.

Theo đề ta có \({12^t} = {3^{2t + 1}} \Leftrightarrow t{\rm{ln}}12 = \left( {2t + 1} \right){\rm{ln}}3 \Rightarrow t \approx 4\).

Đáp án cần nhập là: \(4\).

\(P = \frac{{{{\sin }^3}\theta }}{{\sin \theta  - 1}} - \frac{{{{\sin }^2}\theta }}{{1 + \sin \theta }} = \frac{{{{\sin }^3}\theta \left( {1 + \sin \theta } \right) - {{\sin }^2}\theta \left( {\sin \theta  - 1} \right)}}{{\left( {\sin \theta  - 1} \right)\left( {1 + \sin \theta } \right)}} = \frac{{{{\sin }^4}\theta  + {{\sin }^2}\theta }}{{{{\sin }^2}\theta  - 1}}\)

\( = \frac{{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\theta \left( {1 + {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\theta } \right)}}{{ - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\theta }}\)\( =  - {\rm{ta}}{{\rm{n}}^2}\theta \left( {1 + {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\theta } \right)\).

\( \Rightarrow a =  - 1,b = 1\)\( \Rightarrow a + b = 0\).

Đáp án cần nhập là: \(0\).

Điều kiện: \( - 4 < x < 4\) và \(x \ne  - 1\).

Ta có \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_4}{\left( {x + 1} \right)^2} + 2 = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\sqrt 2 }}\sqrt {4 - x}  + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_8}{\left( {4 + x} \right)^3}\)

\( \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {4\left| {x + 1} \right|} \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left[ {\left( {4 - x} \right)\left( {4 + x} \right)} \right]\)

\( \Leftrightarrow 4\left| {x + 1} \right| = 16 - {x^2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{4\left( {x + 1} \right) = 16 - {x^2}}\\{4\left( {x + 1} \right) = {x^2} - 16}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + 4x - 12 = 0}\\{{x^2} - 4x - 20 = 0}\end{array}} \right.} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{x =  - 6}\\{x = 2 + 2\sqrt 6 }\\{x = 2 - 2\sqrt 6 }\end{array}} \right.\).

Đối chiếu điều kiện, phương trình đã cho có hai nghiệm \(x = 2\) và \(x = 2 - 2\sqrt 6 \). Chọn C.