Cho biểu thức lượng giác \(P = \frac{{{\rm{si}}{{\rm{n}}^3}\theta }}{{{\rm{sin}}\theta  - 1}} - \frac{{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\theta }}{{1 + {\rm{sin}}\theta }}\).

Rút gọn biểu thức \(P\), ta được biểu thức có dạng \(a{\rm{ta}}{{\rm{n}}^2}\theta \left( {b + {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\theta } \right)\left( {a,b \in \mathbb{Z}} \right)\). Khi đó \(a + b\) bằng (nhập đáp án vào ô trống).

_

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Hàm \(y = f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) là parabol đi qua \(\left( {0;20} \right),\,\,\left( {20;0} \right) \Rightarrow y =  - \frac{1}{{20}}{x^2} + 20\)

Phương trình đường thẳng cắt cánh hoa là \(y =  - x + 20\)

Diện tích 1 cánh hoa bằng \(I = 2\int\limits_0^{20} {\left( { - \frac{1}{{20}}{x^2} + 20 + x - 20} \right)dx}  = \frac{{400}}{3}\)

Theo bài tỉ số tiêu cự với độ dài trục lớn là \(\frac{2}{3} \Rightarrow \frac{c}{a} = \frac{2}{3} \Rightarrow c = \frac{2}{3}a\).

Mà \({b^2} = {a^2} - {c^2} \Rightarrow {b^2} = {a^2} - \frac{4}{9}{a^2} = \frac{5}{9}{a^2}\).

Phương trình elip có dạng: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{\frac{5}{9}{a^2}}} = 1\).

Elip đi qua điểm \(M\left( {2;\frac{{ - 5}}{3}} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{4}{{{a^2}}} + \frac{{\frac{{25}}{9}}}{{\frac{5}{9}{a^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{4}{{{a^2}}} + \frac{5}{{{a^2}}} = 1 \Rightarrow \frac{9}{{{a^2}}} = 1 \Rightarrow {a^2} = 9 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 3}\\{a =  - 3\left( L \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow b = \sqrt 5 \).

Phương trình elip cần tìm là: \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{5} = 1\). Chọn A.