Xác định phương trình elip đi qua điểm \(M\left( {2;\frac{{ - 5}}{3}} \right)\), biết tỉ số tiêu cự với độ dài trục lớn bằng \(\frac{2}{3}\).    

Theo bài tỉ số tiêu cự với độ dài trục lớn là \(\frac{2}{3} \Rightarrow \frac{c}{a} = \frac{2}{3} \Rightarrow c = \frac{2}{3}a\).

Mà \({b^2} = {a^2} - {c^2} \Rightarrow {b^2} = {a^2} - \frac{4}{9}{a^2} = \frac{5}{9}{a^2}\).

Phương trình elip có dạng: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{\frac{5}{9}{a^2}}} = 1\).

Elip đi qua điểm \(M\left( {2;\frac{{ - 5}}{3}} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{4}{{{a^2}}} + \frac{{\frac{{25}}{9}}}{{\frac{5}{9}{a^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{4}{{{a^2}}} + \frac{5}{{{a^2}}} = 1 \Rightarrow \frac{9}{{{a^2}}} = 1 \Rightarrow {a^2} = 9 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 3}\\{a =  - 3\left( L \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow b = \sqrt 5 \).

Phương trình elip cần tìm là: \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{5} = 1\). Chọn A.