Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh đều bằng \(a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(SD\) và \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng \(BM\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Tính tan \(\alpha \) (nhập đáp án vào ô trống).

_____

Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\).

Do hình chóp \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Gọi \(H\) là trung điểm \(OD\).

Khi đó \(MH\) là đường trung bình của tam giác \(SOD\) nên \(MH//SO\) \( \Rightarrow MH \bot \left( {ABCD} \right)\)

Do đó góc giữa đường thẳng \(BM\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là \(\widehat {MBH}\) nên \(\alpha  = \widehat {MBH}\).

\(ABCD\) là hình vuông nên \(BD = AB\sqrt 2  = a\sqrt 2 \)

Ta có \(O\) là trung điểm \(BD,H\) là trung điểm \(OD\) nên \(OD = \frac{{BD}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) và \(BH = \frac{3}{4}BD = \frac{{3a\sqrt 2 }}{4}\)

\({\rm{\Delta }}SOD\) vuông tại \(O\) có \(SO = \sqrt {S{D^2} - O{D^2}}  = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)

MH là đường trung bình của tam giác \(SOD\) nên \(MH = \frac{{SO}}{2} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\).

\({\rm{\Delta }}MBH\) vuông tại \(H\) có \({\rm{tan}}\widehat {MBH} = \frac{{MH}}{{BH}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{4}}}{{\frac{{3a\sqrt 2 }}{4}}} = \frac{1}{3}\).

Đáp án cần nhập là: \(0,33\).