Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2026 có đáp án (Đề số 20)

Phương pháp giải:
\(P\left( {A\mid B} \right) = \frac{{n\left( {A \cap B} \right)}}{{n\left( B \right)}}\).

Giải chi tiết:

Gọi \(A\) là biến cố: “Người được chọn chết do bệnh tim”.

Gọi \(B\) là biến cố: “Người được chọn có bố hoặc mẹ mắc bệnh tim”.

Theo đề bài:
\(n\left( B \right) = 312\), \(n\left( {A \cap B} \right) = 102\).

Ta cần tính xác suất có điều kiện:
\(P\left( {A\mid B} \right) = \frac{{n\left( {A \cap B} \right)}}{{n\left( B \right)}} = \frac{{102}}{{312}} = \frac{{17}}{{52}}\).

Phương pháp giải: Nhân liên hợp

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\lim \left( {2n - \sqrt {4{n^2} + 5n - 5} } \right) = \lim \frac{{4{n^2} - 4{n^2} - 5n + 5}}{{2n + \sqrt {4{n^2} + 5n - 5} }}\\ = \lim \frac{{ - 5n + 5}}{{2n + \sqrt {4{n^2} + 5n - 5} }}\\ = \lim \frac{{ - 5\left( {1 - \frac{1}{n}} \right)}}{{2 + \sqrt {4 + 5\left( {\frac{1}{n} - \frac{1}{{{n^2}}}} \right)} }} = - \frac{5}{4}.\end{array}\)

Phương pháp giải

Sử dụng công thức đổi cơ số \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\frac{1}{2}}}\left( A \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{{2^{ - 1}}}}\left( A \right) = - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( A \right)\):

Áp dụng quy tắc hiệu hai logarit \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}\left( A \right) - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}\left( B \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}\left( {\frac{A}{B}} \right)\):

Giải chi tiết:

ĐKXĐ:

\({x^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1\) hoặc \(x < - 1\)

\(x + 5 > 0 \Leftrightarrow x > - 5\)

Kết hợp lại: \(x \in \left( { - 5; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\).

Phương trình ban đầu:

                      \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{x^2} - 1} \right) + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\frac{1}{2}}}\left( {x + 5} \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}3\)

\({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{x^2} - 1} \right) - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {x + 5} \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}3\)

       \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {\frac{{{x^2} - 1}}{{x + 5}}} \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}3\)

Suy ra:

                                   \(\frac{{{x^2} - 1}}{{x + 5}} = 3\)

                                 \({x^2} - 1 = 3\left( {x + 5} \right)\)

                                            \({x^2} - 1 = 3x + 15\)

\(\begin{array}{l}{x^2} - 3x - 16 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = \frac{{3 + \sqrt {73} }}{2}\left( {TM} \right)\\{x_2} = \frac{{3 - \sqrt {73} }}{2}\left( {TM} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Theo định lý Vi-ét cho phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\), tổng hai nghiệm là:

                \({x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = - \frac{{ - 3}}{1} = 3\)

Ta có: \(P = {2^{{x_1} + {x_2}}} = {2^3} = 8.\)

Phương pháp giải: Tính độ dài cạnh góc vuông và diện tích biểu diễn qua \(x\)

Giải chi tiết:

Gọi một cạnh góc vuông là \(x\) (\(0 < x < 5\)) thì cạnh góc vuông còn lại là \(\sqrt {25 - {x^2}} \)

Như vậy, diện tích \(S = \frac{{x\sqrt {25 - {x^2}} }}{2} = \frac{{\sqrt {25{x^2} - {x^4}} }}{2}\). Đặt \(f\left( x \right) = 25{x^2} - {x^4}\)

Ta có \(f'\left( x \right) = 50x - 4{x^3}\). Khi đó \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\)

Bảng biến thiên:

Phương pháp giải: Chỉ ra hàm số đồng biến trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\).

Giải chi tiết:

Hàm số \(y = \frac{{x - {m^2}}}{{x + 8}}\) có tập xác định \(D = \mathbb{R} \setminus \left\{ { - 8} \right\}\) nên hàm số xác định và liên tục trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\).

Ta có \(y' = \frac{{8 + {m^2}}}{{{{\left( {x{\rm{ + }}8} \right)}^2}}} > 0,\forall m \in \mathbb{R},x \ne - 8\) nên hàm số đồng biến trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\).

Suy ra \(\mathop {min}\limits_{\left[ {0{\rm{;}}3} \right]} y = y\left( 0 \right) = - \frac{{{m^2}}}{8}\). Từ giả thiết suy ra\( - \frac{{{m^2}}}{8} = - \frac{9}{2} \Leftrightarrow {m^2} = 36 \Leftrightarrow - \frac{{{m^2}}}{8} = - \frac{9}{2} \Leftrightarrow {m^2} = 36 \Leftrightarrow m = \pm 6\).

Vậy có hai giá trị nguyên của tham số \(m\) thoả mãn yêu cầu bài toán.

Phương pháp giải: Biên độ nhiệt là khoảng biến thiên nhiệt độ trong ngày = nhiệt độ cao nhất - nhiệt độ thấp nhất

Giải chi tiết:

Biên độ nhiệt là: \[34 - 20 = 14.\]

Phương pháp giải: Lấy \(y\) chia \(y'\) ta được dư là đường thẳng đi qua \(2\) điểm cực trị.

Giải chi tiết:

Ta có: \(y' = 3\left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x\)

Hàm số có \(2\) cực trị \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m + 1 \ne 0}\\{{{\left( {m{\rm{ + }}2} \right)}^2} > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ne - 1}\\{m \ne - 2}\end{array}} \right.\)

Lấy \(y\) chia \(y'\) ta được:

\(y = \left[ {3\left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x} \right]\left( {\frac{1}{3}x - \frac{{m + 2}}{{9\left( {m + 1} \right)}}} \right) - \frac{2}{9}\frac{{{{\left( {m{\rm{ + }}2} \right)}^2}}}{{\left( {m{\rm{ + }}1} \right)}}x + 3m - 2\)

Do đó đường thẳng qua \(2\) điểm cực trị của đồ thị hàm số có phương trình

\(d:y = - \frac{2}{9}\frac{{{{\left( {m{\rm{ + }}2} \right)}^2}}}{{\left( {m{\rm{ + }}1} \right)}}x + 3m - 2\)

\(d \cap Ox = A\left( {\frac{{9\left( {3m - 2} \right)\left( {m + 1} \right)}}{{2{{\left( {m{\rm{ + }}2} \right)}^2}}};0} \right),d \cap Oy = B\left( {0;3m - 2} \right)\left( {m > \frac{2}{3}} \right)\).                                               

\( \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {3m - 2} \right)}^2}\left( {m + 1} \right)}}{{{{\left( {m{\rm{ + }}2} \right)}^2}}} = 1 \Leftrightarrow 9{m^3} - 4{m^2} - 12m = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = \frac{2}{9} + \frac{{4\sqrt 7 }}{9}}\\{m = \frac{2}{9} - \frac{{4\sqrt 7 }}{9}}\\{m = 0}\end{array}} \right.\).

Vậy tồn tại \(1\) số dương \(m\) thỏa bài toán.

Phương pháp giải: Hàm số đồng biến khi đạo hàm lớn hơn \(0.\)

Giải chi tiết:

Điều kiện xác định:\( - 2 \le x \le 4\)

Ta có: \(\forall x \in \left( { - 2;4} \right),y' = \frac{{ - x + 1}}{{\sqrt {8 + 2x - {x^2}} }} > 0 \Leftrightarrow \frac{{ - x + 1}}{{\sqrt {8 + 2x - {x^2}} }} > 0 \Leftrightarrow - x + 1 > 0 \Leftrightarrow x < 1\)

Kết hợp với điều kiện xác định ta được hàm số đồng biến trên \(\left( { - 2;1} \right)\).