Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2026 có đáp án (Đề số 7)

Câu 1

Cho hàm số $y = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}}$ có đồ thị (C). Hỏi có tất cả bao nhiêu điểm thuộc đồ thị (C) mà tiếp tuyến của (C) tại điểm đó tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng $\frac{2}{5}.$

A. 4

B. 5

C. 2

D. 3

Lời giải

Phương pháp giải.

Gọi tiếp điểm theo tham số, viết phương trình tiếp tuyến, lập phương trình diện tích tìm tham số thỏa mãn.

Giải chi tiết.

Ta có $y = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}} = 2 + \frac{5}{{x - 2}} \Rightarrow y' = - \frac{5}{{{{(x - 2)}^2}}}.$

Gọi tiếp điểm là $A\left( {a + 2,\;2 + \frac{5}{a}} \right).$

Khi đó tiếp tuyến tại A có dạng $y = - \frac{5}{{{a^2}}}(x - a - 2) + 2 + \frac{5}{a} = - \frac{{5x}}{{{a^2}}} + \frac{{2{a^2} + 10a + 10}}{{{a^2}}}.$

Tiếp tuyến cắt trục Oy tại $E\left( {0,\;\frac{{2{a^2} + 10a + 10}}{{{a^2}}}} \right),$cắt trục Ox tại $F\left( {\frac{{2{a^2} + 10a + 10}}{5},\;0} \right).$

Diện tích tam giác OEF bằng $\frac{1}{2}\left| {\frac{{2{a^2} + 10a + 10}}{{{a^2}}}} \right|\left| {\frac{{2{a^2} + 10a + 10}}{5}} \right| = \frac{2}{5}.$

$ \Leftrightarrow {(2{a^2} + 10a + 10)^2} = 4{a^4}.$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{a^2} + 10a + 10 = 2a,}\\{2{a^2} + 10a + 10 = - 2a.}\end{array}} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 1,}\\{a = - 5.}\end{array}} \right.$

Vậy có 2 giá trị của a thỏa mãn hay có 2 điểm thỏa mãn bài toán.

Đáp án cần chọn là: C.

Mở rộng:

Công thức tổng quát: Với hàm số $y = f\left( x \right)$, tiếp tuyến tại điểm $A\left( {{x_0},f\left( {{x_0}} \right)} \right)$ có phương trình:

$y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)$

o Giao điểm với trục hoành: $x = {x_0} - \frac{{f\left( {{x_0}} \right)}}{{f'\left( {{x_0}} \right)}}$

o Giao điểm với trục tung:$\;y = f\left( {{x_0}} \right) - {x_0}f'\left( {{x_0}} \right)$

o Diện tích tam giác $OEF = \frac{1}{2} \cdot \left| {{x_E}} \right| \cdot \left| {{y_F}} \right|\;$

· Luôn nhớ diện tích tam giác tạo bởi tiếp tuyến $ = \frac{1}{2} \cdot \left| {{x_0} - \frac{{f\left( {{x_0}} \right)}}{{f'\left( {{x_0}} \right)}}} \right| \cdot \left| {f\left( {x\_0} \right) - {x_0}f'\left( {{x_0}} \right)} \right|$

· Khi đề yêu cầu diện tích bằng số cụ thể, chỉ cần giải phương trình theo ${x_0}$

Câu 2

Tìm m để đồ thị hàm số (C) của hàm số $y = - \frac{{{x^3}}}{m} + 3m{x^2} - 2$ có điểm uốn nằm trên đường parabol (P): $y = 2{x^2} - 2.$

A. $m = 0\qquad $

B. $m = 2$

C. $m = 1$

D. $m = - 2$

Lời giải

Phương pháp giải.

Tìm điểm uốn của đồ thị. Đặt điều kiện để điểm uốn thỏa mãn điều kiện cho trước, từ đó suy ra giá trị của tham số.

Giải chi tiết

Điều kiện: $m \ne 0$

$f'(x) = - \frac{{3{x^2}}}{m} + 6mx$

$f''(x) = - \frac{{6x}}{m} + 6m,\quad f''(x) = 0 \Rightarrow x = {m^2}$

Đồ thị hàm số (C) có điểm uốn $I\left( {{m^2};\;2{m^5} - 1} \right)$

Ta có: $I \in (P) \Leftrightarrow 2{m^5} - 1 = 2{m^4} - 1$ $ \Leftrightarrow {m^4}(m - 1) = 0 \Rightarrow m = 1$

Đáp án cần chọn là: C.

Mở rộng:

· Công thức tổng quát: Điểm uốn của hàm số $y = f\left( x \right)$ là nghiệm của $f''\left( x \right) = 0$ và đổi dấu qua nghiệm đó.
Nếu yêu cầu điểm uốn nằm trên đường $y = g\left( x \right)$, ta giải hệ:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f''\left( x \right) = 0}\\{f\left( x \right) = g\left( x \right)}\end{array}} \right.$

· Luôn kiểm tra điều kiện đổi dấu của $f''\left( x \right)$

· Khi gặp parabol $y = a{x^2} + bx + c$, thay trực tiếp tọa độ điểm uốn vào để tìm tham số.

Câu 3

Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số: $y = \frac{{{x^3}}}{{{x^2} - 1}}$ là?

A. $y = 2x$

B. $y = 2x + 1$

C. $y = x$

D. $y = - x$

Lời giải

Phương pháp giải

Dùng giới hạn xác định tiệm cận xiên.

Giải chi tiết

Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số có dạng: $y = ax + b\quad (a \ne 0)$

Ta có:

$a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f(x)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^3}}}{{x({x^2} - 1)}} = 1$

$b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{{x^3}}}{{{x^2} - 1}} - x} \right) = 0$

Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là: y=x

Đáp án cần chọn là: C

Mở rộng:

· Công thức tổng quát: Với hàm số hữu tỉ $\frac{{P\left( x \right)}}{{Q\left( x \right)}}$:

o Nếu $deg\;P = deg\;Q + 1$, chia đa thức để tìm tiệm cận xiên: $y = ax + b$.

o Công thức: $a = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x}\;\;,\;b = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {f\left( x \right) - ax} \right)\;$

· Luôn thử chia đa thức trước, tránh tính giới hạn phức tạp.

· Nếu bậc tử lớn hơn bậc mẫu nhiều hơn 1 → không có tiệm cận xiên.

Câu 4

Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn bất đẳng thức sau: $\log \frac{{x + 1}}{{3y + 1}} \le 9{y^4} + 6{y^3} - {x^2}{y^2} - 2{y^2}x.$

Biết$y \le 1000$. Hỏi có bao nhiêu cặp số nguyên dương $(x;y)$thỏa mãn bất đẳng thức trên?

A. 1501100

B. 1501300

C. 1501400

D. 1501500

Lời giải

Phương pháp giải

Dùng hàm đặc trưng.

Giải chi tiết

Ta có: $\log \frac{{x + 1}}{{3y + 1}} \le 9{y^4} + 6{y^3} - {x^2}{y^2} - 2{y^2}x$

$ \Leftrightarrow \log \frac{{xy + y}}{{3{y^2} + y}} \le (9{y^4} + 6{y^3} + {y^2}) - ({x^2}{y^2} + 2xyy + {y^2})$

$ \Leftrightarrow \log (xy + y) - \log (3{y^2} + y) \le {(3{y^2} + y)^2} - {(xy + y)^2}$

$ \Leftrightarrow \log (xy + y) + {(xy + y)^2} \le \log (3{y^2} + y) + {(3{y^2} + y)^2}$

Xét hàm:$f(t) = \log t + {t^2}\quad {\rm{voi }}t \in (0; + \infty )$

$f'(t) = \frac{1}{{t\ln 10}} + 2t > 0,\;\forall t \in (0; + \infty )$$ \Rightarrow f(t)\;{\rm{??ng bi?n tr\^e n }}(0; + \infty )$

Vì $y\le 1000$ nên có các trường hợp sau:

$y = 1 \Rightarrow x \in \{ 1;2;3\} $

$y = 2 \Rightarrow x \in \{ 1;2;3;4;5;6\} $

$y = 1000 \Rightarrow x \in \{ 1;2;3; \ldots ;3000\} $

Vậy số cặp số thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $3 + 6 + 9 + \cdots + 3000 = 1501500$

Đáp án cần chọn là: D

Mở rộng:

· Công thức tổng quát: Khi đề cho bất đẳng thức dạng $f\left( {x,y} \right)\backslash leq\;k$, ta thường:

o Cố định một biến, đếm số giá trị biến còn lại.

o Sử dụng hàm đặc trưng: số cặp = $\mathop \sum \limits_y \;$số giá trị $x$ thỏa

· Với bài HSA, thường cho giới hạn $y \le \;N$. Hãy xét từng trường hợp biên.

· Nếu bất đẳng thức có dạng $\frac{x}{y} \le C$, đổi thành $x \le \;Cy$ để dễ đếm.

Câu 5

Có bao nhiêu cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn điều kiện $0 \le y \le 100$ và${x^6} + 6{x^4}y + 12{x^2}{y^2} - 19{y^3} + 3{x^2} - 3y = 0?$

Xem đáp án

Lời giải

Phương pháp giải

Đặt $t = {x^2}$ để biến đổi phương trình về đa thức theo t.

Phân tích đa thức thành nhân tử (theo t).

Giải${x^2} - y = 0$, đếm các nghiệm nguyên thỏa mãn$0 \le y \le 100$.

Giải chi tiết

Ta biến đổi đa thức theo${x^2}$. Đặt$t = {x^2}$. Ta có

${x^6} + 6{x^4}y + 12{x^2}{y^2} - 19{y^3} + 3{x^2} - 3y = ({x^2} - y)({x^4} + 7{x^2}y + 19{y^2} + 3).$

Với $0 \le y \le 100$ và y nguyên:

- Nếu ${x^2} - y = 0\,$thì$y = {x^2}$. Vì $0 \le y \le 100$nên ${x^2} \in \{ 0,1,4,9, \ldots ,100\} \Rightarrow x \in \{ 0, \pm 1, \pm 2, \ldots , \pm 10\} .$

Các cặp thỏa điều kiện là $(0,0)$và $( \pm k,{k^2})$với $k = 1,2, \ldots ,10$.

- Có ${x^4} + 7{x^2}y + 19{y^2} + 3$ luôn dương khi $y \ge 0$nên không thể bằng 0.

Vậy chỉ có các cặp từ trường hợp (1).

Có$1 + 2 \cdot 10 = 21$.

Câu 6

Trong phòng giáo viên, giờ ra chơi có bốn cô giáo: An, Bình, Giang và Nhàn ngồi nói chuyện với nhau quanh 1 chiếc bàn hình tròn. Cô mặc áo dài xanh (không phải là cô An và cô Bình) thì ngồi giữa cô mặc áo dài tím và cô Nhàn. Cô mặc áo dài trắng thì ngồi giữa cô mặc áo dài hồng và cô Bình.

Vậy cô An mặc áo màu gì?

A. Hồng

B. Tím

C. Trắng

D. Xanh

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tiếng Anh

Công nghệ

Tin học

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bộ Quốc phòng

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Viên chức

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Bright

Explore new worlds

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Toán

Vật lý