Tìm m để đồ thị hàm số (C) của hàm số \(y =  - \frac{{{x^3}}}{m} + 3m{x^2} - 2\) có điểm uốn nằm trên đường parabol (P): \(y = 2{x^2} - 2.\)

Phương pháp giải.

Tìm điểm uốn của đồ thị. Đặt điều kiện để điểm uốn thỏa mãn điều kiện cho trước, từ đó suy ra giá trị của tham số.

Giải chi tiết

Điều kiện: \(m \ne 0\)

\(f'(x) = - \frac{{3{x^2}}}{m} + 6mx\)

\(f''(x) = - \frac{{6x}}{m} + 6m,\quad f''(x) = 0 \Rightarrow x = {m^2}\)

Đồ thị hàm số (C) có điểm uốn \(I\left( {{m^2};\;2{m^5} - 1} \right)\)

Ta có: \(I \in (P) \Leftrightarrow 2{m^5} - 1 = 2{m^4} - 1\) \( \Leftrightarrow {m^4}(m - 1) = 0 \Rightarrow m = 1\)

Đáp án cần chọn là: C.

Mở rộng:

·        Công thức tổng quát: Điểm uốn của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là nghiệm của \(f''\left( x \right) = 0\) và đổi dấu qua nghiệm đó.
Nếu yêu cầu điểm uốn nằm trên đường \(y = g\left( x \right)\), ta giải hệ:

 \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f''\left( x \right) = 0}\\{f\left( x \right) = g\left( x \right)}\end{array}} \right.\)

·        Luôn kiểm tra điều kiện đổi dấu của \(f''\left( x \right)\)

·        Khi gặp parabol \(y = a{x^2} + bx + c\), thay trực tiếp tọa độ điểm uốn vào để tìm tham số.