$g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{f'\left( {{x^2} + 2} \right) = 0}\\{2x = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + 2 = 0}\\{{x^2} + 2 = \frac{1}{2}}\\{{x^2} + 2 = 1}\\{{x^2} + 2 = 3}\\{2x = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1}\\{x = 1}\\{x = 0}\end{array}} \right.} \right.} \right.$

Bảng xét dấu kết hợp bảng biến thiên:

$Hàm số g(x) = f( {{x^2} + 2} đồng biến trên khoảng nào? (ảnh 2)$

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$

Câu 2

Cho hàm số: $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm $f'\left( x \right) = {x^2}\left( {x - 9} \right){(x - 4)^2},\forall x \in \mathbb{R}$. Hàm số $g\left( x \right) = f\left( {{x^2}} \right)$ đồng biến trên khoảng nào?

A. $\left( { - 4; - 2} \right)$.

B. $\left( { - 2;1} \right)$.

C. $\left( { - 3;0} \right)$.

D. $\left( {1;4} \right)$.

Lời giải

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Khảo sát hàm số $g\left( x \right) = f\left( {{x^2}} \right)$

Lời giải

Xét hàm số: $g\left( x \right) = f\left( {{x^2}} \right)$

\[g'(x) = 2x.f'\left( {{x^2}} \right),g'(x) = 0 \Leftrightarrow 2x.{\left( {{x^2}} \right)^2}\left( {{x^2} - 9} \right){\left( {{x^2} - 4} \right)^2} = 0\]

\[ \Rightarrow 2{x^5}(x - 3)(x + 3){(x - 2)^2}{(x + 2)^2} = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 3}\\{x = - 3}\\{x = 2}\\{x = - 2}\end{array}} \right.\]

Hai nghiệm $x = 2,x = - 2$ là nghiệm kép nên $g'\left( x \right)$ không đổi dấu khi x đi qua hai điểm này

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - 3;0} \right);\left( {3; + \infty } \right)$

Câu 3

Đạo hàm hàm số: $y = \left| {{x^3} + {2^x} + 3{x^2}} \right|$ là:

A. $\frac{{\left( {3{x^2} + {2^x}.{\rm{ln}}2 + 6x} \right).\left( {{x^3} + {2^x} + 3{x^2}} \right)}}{{\left| {{x^3} + {2^x} + 3{x^2}} \right|}}$.

B. $\frac{{\left( {3{x^2} + {2^x}.{\rm{ln}}2 + 6x} \right).\left( {{x^3} + {2^x} + 3{x^2}} \right)}}{{{x^3} + {2^x} + 3{x^2}}}$.

C. $\frac{{\left| {{x^3} + {2^x} + 3{x^2}} \right|.\left( {{x^3} + {2^x} + 3{x^2}} \right)}}{{\left( {3{x^2} + {2^x}.{\rm{ln}}2 + 6x} \right)}}$.

D. $\frac{{\left| {{x^3} + {2^x} + 3{x^2}} \right|.\left( {3{x^2} + {2^x}.{\rm{ln}}2 + 6x} \right)}}{{\left( {{x^3} + {2^x} + 3{x^2}} \right)}}$.

Lời giải

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Lời giải

$y' = \frac{{{{\left( {{x^3} + {2^x} + 3{x^2}} \right)}}.\left( {{x^3} + {2^x} + 3{x^2}} \right)}}{{\left| {{x^3} + {2^x} + 3{x^2}} \right|}} = \frac{{\left( {3{x^2} + {2^x}.{\rm{ln}}2 + 6x} \right).\left( {{x^3} + {2^x} + 3{x^2}} \right)}}{{\left| {{x^3} + {2^x} + 3{x^2}} \right|}}$.

Câu 4

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm $f'\left( x \right) = - {x^2} - 2x + 3$ với $\forall x \in \mathbb{R}$. Số giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc $\left[ { - 10;10} \right]$ để hàm số $g\left( x \right) = f\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + 3{\rm{sin}}x - m} \right) + {m^2} + 2$ đồng biến trên $\left( {\frac{{2\pi }}{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right)$ là

A. 14.

B. 15.

C. 16.

D. 17.

Lời giải

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Lời giải

Ta có: $g\left( x \right) = f\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + 3{\rm{sin}}x - m} \right) + {m^2} + 2$

$g'\left( x \right) = \left( {2{\rm{sin}}x.{\rm{cos}}x + 3{\rm{cos}}x} \right)f'\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + 3{\rm{sin}}x - m} \right) = {\rm{cos}}x\left( {2{\rm{sin}}x + 3} \right)f'\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + 3{\rm{sin}}x - m} \right)$

$g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( {\frac{{2\pi }}{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right) \Leftrightarrow g'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \left( {\frac{{2\pi }}{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right)$

$ \Leftrightarrow {\rm{cos}}x\left( {2{\rm{sin}}x + 3} \right)f'\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + 3{\rm{sin}}x - m} \right) \ge 0,\forall x \in \left( {\frac{{2\pi }}{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right)$

$ \Leftrightarrow f'\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + 3{\rm{sin}}x - m} \right) \le 0,\forall x \in \left( {\frac{{2\pi }}{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right)$.

Theo giả thiết: $f'\left( x \right) = - {x^2} - 2x + 3 \le 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 1}\\{x \le - 3}\end{array}} \right.$, ta có:

\[f'\left( {{{\sin }^2}x + 3\sin x - m} \right) \le 0,\forall x \in \left( {\frac{{2\pi }}{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\sin ^2}x + 3\sin x - m \ge 1,\forall x \in \left( {\frac{{2\pi }}{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right)\\{\sin ^2}x + 3\sin x - m \le - 3,\forall x \in \left( {\frac{{2\pi }}{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right)\end{array} \right.\]

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + 3{\rm{sin}}x \ge m + 1,\forall x \in \left( {\frac{{2\pi }}{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right)}\\{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + 3{\rm{sin}}x \le m - 3,\forall x \in \left( {\frac{{2\pi }}{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right)}\end{array}} \right.$ (1)

Xét hàm số $u\left( x \right) = {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + 3{\rm{sin}}x$ trên $\left[ {\frac{{2\pi }}{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right]$, ta có

, do đó $\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m - 3 \ge \frac{{3 + 6\sqrt 3 }}{4}}\\{m + 1 \le \frac{7}{4}}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ge \frac{{15 + 6\sqrt 3 }}{4}}\\{m \le \frac{3}{4}}\end{array}} \right.} \right.$

Kết hợp với $m \in \mathbb{Z}$ và thuộc $\left[ { - 10;10} \right]$ ta được $m \in \left\{ { - 10, - 9, \ldots ,0,7, \ldots ,10} \right\}$.

Vậy có 15 số nguyên $m$ thỏa mãn bài toán.

Câu 5

Cho hàm số $y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} + 2x + n}}$. Xác định $n$ để đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng $x = {x_1},x = {x_2}$ thỏa mãn: ${x_1} - {x_2} = 5$.

A. $n = \frac{{ - 5}}{4}$.

B. $n = \frac{{ - 25}}{4}$.

C. $n = \frac{{ - 21}}{4}$.

D. $n = 5$.

Lời giải

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng khi nghiệm tử số và mẫu số không trùng nhau

Lời giải

Để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng thì $f\left( x \right) = {x^2} + mx + n = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x \ne 1$

$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( 1 \right) \ne 0}\\{{\rm{\Delta '}} > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 + 2 + n \ne 0}\\{1 - n > 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{n \ne - 3}\\{n < 1}\end{array}} \right.} \right.} \right.$

Khi đó phương trình ${x^2} + 2x + n = 0$ có hai nghiệm $x = {x_1},x = {x_2}$

Theo hệ thức Viet ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = - 2}\\{{x_1}.{x_2} = n}\end{array}} \right.$

Theo bài ra: ${x_1} - {x_2} = 5$

$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} - {x_2} = 5}\\{{x_1} + {x_2} = - 2}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} = \frac{3}{2}}\\{{x_2} = \frac{{ - 7}}{2}}\end{array}} \right.} \right. \Rightarrow {x_1}.{x_2} = n \Leftrightarrow \frac{3}{2}.\frac{{\left( { - 7} \right)}}{2} = \frac{{ - 21}}{4}$

Câu 6

Có bao nhiêu các giá trị nguyên $m \in \left[ { - 5;5} \right]$ để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi $x \in \mathbb{R}:3{\rm{si}}{{\rm{n}}^3}x - 5{\rm{sin}}3x - 36{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x - 15{\rm{sin}}x + 36 + 24m \ge 0$

A. 5.

B. 6.

C. 7.

D. 8.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

	T	t
T	TT (Khỏe mạnh)	Tt (Khỏe mạnh)
t	Tt (Khỏe mạnh)	Tt (bị bệnh)

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tiếng Anh

Công nghệ

Tin học

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bộ Quốc phòng

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Viên chức

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Bright

Explore new worlds

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Toán

Vật lý