Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d:x + 2y - 3 = 0\) và điểm A(2;0). Gọi \(A'\left( {a;b} \right)\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(d\). Tính \(S = 5a + 10b\)?  

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Dựng đường thẳng \({\rm{d'}}\) qua A và vuông góc với d

Tìm giao điểm H của d' và d

Tìm tọa độ điểm \({\rm{A'}}\) dựa trên tính chất đối xứng: H là trung điểm của \({\rm{AA'}}\)

Lời giải

Đường thẳng d có vtpt \(\vec n\left( {1;2} \right)\)

Đường thẳng \({\rm{d'}}\) qua A và vuông góc với d là: \(2\left( {x - 2} \right) - y = 0 \Leftrightarrow 2x - y - 4 = 0\)

Giao điểm H của d và \({\rm{d'}}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y - 4 = 0}\\{x + 2y - 3 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{11}}{5}}\\{y = \frac{2}{5}}\end{array}} \right.} \right.\)

Do H là trung điểm của \({\rm{AA'}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{A'}} = 2.\frac{{11}}{5} - 2 = \frac{{12}}{5}}\\{{y_{A'}} = 2.\frac{2}{5} - 0 = \frac{4}{5}}\end{array}} \right.\)

\(S = 5.\frac{{12}}{5} + 10.\frac{4}{5} = 12 + 8 = 20\)