Giá nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^2} + 2{y^2} - 2xy + y\) có dạng \( - \frac{a}{b}\). Tính \(a + b\)

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Tồn tại Max hay Min của biểu thức \(P\) tức là tồn tại 2 giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất mà ở đó ta luôn tìm được tối thiểu là 1 cặp số \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thỏa mãn.

Chuyển vế \(P\) và đưa về phương trình bậc hai ẩn \(x\).

Sử dụng điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình bậc hai.

Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P\)

Dấu của tam thức bậc hai

Lời giải

Tồn tại Max hay Min của biểu thức P tức là tồn tại 2 giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất mà ở đó ta luôn tìm được tối thiểu là 1 cặp số \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thỏa mãn.

Ta có: \(P = {x^2} + 2{y^2} - 2xy + y \Leftrightarrow {x^2} + 2{y^2} - 2xy + y - P = 0\) và ta coi đây là một hàm số bậc hai ẩn \(x\).

\( \Rightarrow \) Để tồn tại nghiệm thì \({\rm{\Delta }} = 4{y^2} - 4\left( {2{y^2} + y - P} \right) \ge 0\) có nghiệm.

\( \Leftrightarrow - 4{y^2} - 4y + 4P \ge 0\) có nghiệm

\( \Leftrightarrow {{\rm{\Delta }}_y} = 16 - 4\left( { - 4} \right)\left( {4P} \right) = 16 + 64P \ge 0\)

\( \Leftrightarrow P \ge - \frac{1}{4}\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 1}\\{b = 4}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow a + b = 5\).