Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m \in [ -5; 5]$ để hàm số $y = \left|x^3-6x^2+(9-m)x +2m -2 \right|$có 5 điểm cực trị?

Đáp án:  __

 

Đáp án đúng là "7"

Phương pháp giải

Xét \(f\left( x \right) = {x^3} - 6{x^2} + \left( {9 - m} \right)x + 2m - 2\)

Hàm số \(y = \left| {{x^3} - 6{x^2} + \left( {9 - m} \right)x + 2m - 2} \right|\) có 5 điểm cực trị khi \(f\left( x \right) = 0\) có 3 nghiệm phân biệt.

Lời giải

Xét \(f\left( x \right) = {x^3} - 6{x^2} + \left( {9 - m} \right)x + 2m - 2\)

Ta có:

\(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^3} - 6{x^2} + \left( {9 - m} \right)x + 2m - 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^3} - 6{x^2} + 9x - 2 - mx + 2m = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} - 4x + 1 - m} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{{x^2} - 4x + 1 - m = 0}\end{array}} \right.\).

Hàm số \(y = \left| {{x^3} - 6{x^2} + \left( {9 - m} \right)x + 2m - 2} \right|\) có 5 điểm cực trị khi \(f\left( x \right) = 0\) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \({x^2} - 4x + 1 - m = 0\) có 2 nghiệm phân biệt khác 2.

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{\Delta '}} = 4 - \left( {1 - m} \right) > 0}\\{{2^2} - 4.2 + 1 - m \ne 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m >  - 3}\\{m \ne 3}\end{array}} \right.} \right.\).

Do \(m \in \mathbb{Z},m \in \left[ { - 5;5} \right]\) nên \(m \in \left\{ { - 2; - 1;0;1;2;4;5} \right\}\).

Vậy có 7 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.