Tổng tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({2^{{x^2} + 4x + 5 - {m^2}}} = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{{x^2} + 4x + 6}}\left( {{m^2} + 1} \right)\) có đúng 1 nghiệm là

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Lời giải

Đặt \(t = {x^2} + 4x + 5\), khi đó \(t \ge 1\).

Thế vào phương trình đã cho ta được phương trình sau:

\({2^{t - {m^2}}} = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{t + 1}}\left( {{m^2} + 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{2^t}}}{{{2^{{m^2}}}}} = \frac{{{\rm{ln}}\left( {{m^2} + 1} \right)}}{{{\rm{ln}}\left( {t + 1} \right)}}\)

\( \Leftrightarrow {2^t}{\rm{ln}}\left( {t + 1} \right) = {2^{{m^2}}}{\rm{ln}}\left( {{m^2} + 1} \right)\) (*)

Xét hàm đặc trưng \(f\left( u \right) = {2^u}.{\rm{ln}}\left( {u + 1} \right)\) có:

\(f'\left( u \right) = \frac{{{2^u}}}{{u + 1}} + {2^u}.{\rm{ln}}\left( {u + 1} \right) \ge 0,\forall u \ge 0 \Rightarrow f\left( u \right)\) đồng biến trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\).

Do đó: (*) \( \Leftrightarrow t = {m^2} \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 5 = {m^2}\).

Vậy để phương trình \({2^{{x^2} + 4x + 5 - {m^2}}} = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{{x^2} + 4x + 6}}\left( {{m^2} + 1} \right)\) có đúng 1 nghiệm thì phương trình \({x^2} + 4x + 5 - {m^2} = 0\) có đúng 1 nghiệm

\( \Leftrightarrow {\rm{\Delta '}} = {m^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \pm 1\).

Vậy tổng tất cả các giá trị \(m\) bằng 0.