Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 1}\\{{u_{n + 1}} = \sqrt {3u_n^2 + 2} ;n \ge 1}\end{array}} \right.\). Tính tổng \(S = u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + \ldots + u_{2022}^2\):

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Đổi biến, đổi dãy để có tính chất đặc biệt:

Xét dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({v_n} = u_n^2 + 1;\forall n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\).

Chứng minh dãy mới là một cấp số nhân hoặc một cấp số cộng.

Tìm cấp số nhân

Tính tổng n số hạng đầu tiên của dãy

Lời giải

Xét dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({v_n} = u_n^2 + 1;\forall n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\).

Ta có: \({v_{n + 1}} = u_{n + 1}^2 + 1 = 3u_n^2 + 2 + 1 = 3\left( {u_n^2 + 1} \right) = 3{v_n};\forall n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\)

\( \Rightarrow \left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân có số hạng đầu \({v_1} = u_1^2 + 1 = 2\) và công bội \(q = 3\).

Vậy \(S = u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + \ldots + u_{2022}^2\)\( = {v_1} - 1 + {v_2} - 1 + {v_3} - 1 + \ldots + {v_{2022}} - 1\)