Số đo ba kích thước của hình hộp chữ nhật lập thành một cấp số nhân. Biết thể tích của khối hộp là $125c{m}^3$và diện tích toàn phần là $175c{m}^2$. Tổng số đo ba kích thước của hình hộp chữ nhật đó là bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống, kết quả viết dưới dạng phân số)?

Đáp án:  _____

 

Đáp án đúng là "35/2"

Phương pháp giải

Gọi số đo ba kích thước của hình hộp chữ nhật là \({u_1},{u_2},{u_3}\)

Lập hệ phương trình chứa \({u_1},{u_2},{u_3}\) từ các giả thiết.

Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân \({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}\)

Lời giải

Gọi số đo ba kích thước của hình hộp chữ nhật là \({u_1},{u_2},{u_3}\) ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1}{u_2}{u_3} = 125}\\{2\left( {{u_1}{u_2} + {u_2}{u_3} + {u_3}{u_1}} \right) = 175}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1}.{u_1}q.{u_1}{q^2} = 125}\\{2\left( {{u_1}.{u_1}q + {u_1}q.{u_1}{q^2} + {u_1}{q^2}.{u_1}} \right) = 175}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {{u_1}q} \right)}^3} = 125}\\{2u_1^2q\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 175}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1}q = 5}\\{2.5{u_1}\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 175}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = \frac{5}{q}}\\{10\frac{5}{q}\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 175}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = \frac{5}{q}}\\{2{q^2} + 2q + 2 = 7q}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = \frac{5}{q}}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{q = 2}\\{q = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = \frac{5}{2}}\\{q = 2}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 10}\\{q = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = \frac{5}{2}}\\{{u_2} = 5}\\{{u_3} = 10}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 10}\\{{u_2} = 5}\\{{u_3} = \frac{5}{2}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)

Suy ra số đo ba kích thước của hình hộp chữ nhật là \(\frac{5}{2};5;10\)

Vậy tổng số đo ba kích thước của hình hộp chữ nhật là \(\frac{{35}}{2}\).