Bạn đang đứng trước hai cánh cửa, một cánh cửa dẫn đến thiên đường, một cánh cửa dẫn đến địa ngục. Có hai người đứng gác cửa, một người luôn nói dối, một người luôn nói thật. Bạn không biết cánh cửa nào dẫn đến địa ngục, cũng không biết ai nói dối hay nói thật. Làm thế nào bạn chỉ cần hỏi một câu hỏi duy nhất để biết chắc chắn cánh cửa nào dẫn đến thiên đường?

Điều kiện: \(x >  - 25\).

Ta có: \(\left( {{3^{{x^2}}} - {9^x}} \right)\left[ {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x + 25} \right) - 3} \right] \le 0\)

Trường hợp 1: \({3^{{x^2}}} - {9^x} \ge 0\) và \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x + 25} \right) - 3 \le 0\).

\(\left\{ \begin{array}{l}{3^{{x^2}}} - {9^x} \ge 0\\{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x + 25} \right) - 3 \le 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{3^{{x^2}}} \ge {3^{2x}}\\x + 25 \le {3^3}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} \ge 2x\\x \le 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \le 0\\x \ge 2\end{array} \right.\\x \le 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le 0\\x = 2\end{array} \right.\).

Mà \(x >  - 25\) nên \(\left[ \begin{array}{l} - 25 < x \le 0\\x = 2\end{array} \right.\).

Trường hợp 2: \({3^{{x^2}}} - {9^x} \le 0\) và \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x + 25} \right) - 3 \ge 0\).

\(\left\{ \begin{array}{l}{3^{{x^2}}} - {9^x} \le 0\\{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x + 25} \right) - 3 \ge 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{3^{{x^2}}} \le {3^{2x}}\\x + 25 \ge {3^3}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} \le 2x\\x \ge 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 2\\x \ge 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x = 2\).

Tóm lại, có 26 giá trị nguyên của \(x\) thỏa mãn bất phương trình đã cho. Chọn C.

Gọi \(A\) là biến cố "một người nọ không biết mật khẩu, sau một lần bấm mở được cửa".

Gọi \(\overline {abc} \) là mật khẩu chính xác để mở cửa.

Ta có \(1 \le a < b < c \le 9;a,b,c \in \mathbb{N}\) hay \(a,b,c \in H = \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8;9} \right\}\).

Vì mật khẩu chính xác là một số tự nhiên có 3 chữ số sao cho chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục và chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng trăm nên cứ mỗi cách chọn ra 1 bộ 3 số từ \(H\), ta được đúng 1 số \(\overline {abc} \) thỏa mãn là mật khẩu mở cửa.

Do đó \(n\left( A \right) = C_9^3 = 84\).

Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( {\rm{\Omega }} \right) = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000\).

Xác suất cần tìm là là: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( {\rm{\Omega }} \right)}} = \frac{{84}}{{1000}} = \frac{{21}}{{250}}\). Chọn B.