Có bao nhiêu số nguyên \(x\) thỏa mãn bất phương trình \(\left( {{3^{{x^2}}} - {9^x}} \right)\left[ {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x + 25} \right) - 3} \right] \le 0\)?    

Gọi \(M\) là trung điểm của \(B'C'\).

Do tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) và lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ đứng nên \(A'M \bot B'C'\) và \(AM \bot B'C\).

Vậy \(\left[ {A,B'C',A'} \right] = \widehat {A'MA} = 30^\circ \).

Xét tam giác \(A'C'B'\) có \(A'C' = A'B' = 3\) và \(\widehat {B'A'C'} = 120^\circ \) nên \(A'M = 1,5\).

Xét tam giác \(AA'M\) vuông tại \(A'\) có \(AA' = A'M \cdot \tan 30^\circ  = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Do \(A'C\) cắt \(AC'\) tại trung điểm I nên ta có

\(d\left( {BC,\left( {AB'C'} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {AB'C'} \right)} \right) = d\left( {A',\left( {AB'C'} \right)} \right) = A'H\).

Có \(\frac{1}{{A'{H^2}}} = \frac{1}{{A'{M^2}}} + \frac{1}{{A'{A^2}}} = \frac{{16}}{9} \Rightarrow A'H = \frac{3}{4}\).

Vậy \(d\left( {BC,\left( {AB'C'} \right)} \right) = \frac{3}{4}\). Chọn C.

Gọi \(H\) là trung điểm \(AB\).

Vì mặt bên \(\left( {SAB} \right)\) đều, nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

\( \Rightarrow {V_{SABCD}} = \frac{1}{3}.SH.{S_{ABCD}}\,\,(1)\) .

\(SH\) là đường cao trong tam giác đều \( \Rightarrow SH = a\sqrt 3 \).

Ta có: \(AB//CD \Rightarrow AB//\left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {H,\left( {SCD} \right)} \right)\).

Gọi \(M\) là trung điểm \(CD \Rightarrow HM \bot CD\).

Dễ dàng chứng minh được \(CD \bot \left( {SHM} \right)\).

Trong \(\Delta SHM\) kẻ \(HK \bot SM\)

Ta có: \(\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{HK \bot SM}\\{CD \bot \left( {SHM} \right) \Rightarrow CD \bot HK}\end{array}} \right\} \Rightarrow HK \bot \left( {SCD} \right)\).

Suy ra \(d\left( {H,\left( {SCD} \right)} \right) = HK = \frac{a}{2}\).

Xét \(\Delta SHM\) vuông tại \(H\) có \(HK\) là đường cao

\( \Rightarrow \frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{M^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{H{M^2}}} = \frac{1}{{H{K^2}}} - \frac{1}{{S{H^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}} - \frac{1}{{3{a^2}}} = \frac{{11}}{{3{a^2}}}\)\( \Rightarrow HM = \frac{{\sqrt {33} }}{{11}}a\)

\( \Rightarrow AD = \frac{{a\sqrt {33} }}{{11}}\).

\( \Rightarrow {S_{ABCD}} = AD.AB = 2a \cdot \frac{{a\sqrt {33} }}{{11}} = \frac{{2{a^2}\sqrt {33} }}{{11}}\)

Vậy thể tích khối chóp là: \(V = \frac{1}{3} \cdot a\sqrt 3  \cdot \frac{{2{a^2}\sqrt {33} }}{{11}} = \frac{{2{a^3}\sqrt {11} }}{{11}}\). Chọn D.