Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật. Mặt bên \(\left( {SAB} \right)\) đều cạnh bằng \(2a\), nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách từ điểm A đến \(\left( {SCD} \right)\) bằng \(\frac{a}{2}\). Tính thể tích khối chóp?
A. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt {33} }}{{11}}\).
B. \(V = \frac{{6{a^3}\sqrt {11} }}{{11}}\).
C. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt {11} }}{{11}}\).
D. \(V = \frac{{2{a^3}\sqrt {11} }}{{11}}\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Gọi \(H\) là trung điểm \(AB\).
Vì mặt bên \(\left( {SAB} \right)\) đều, nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).
\( \Rightarrow {V_{SABCD}} = \frac{1}{3}.SH.{S_{ABCD}}\,\,(1)\) .
\(SH\) là đường cao trong tam giác đều \( \Rightarrow SH = a\sqrt 3 \).
Ta có: \(AB//CD \Rightarrow AB//\left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {H,\left( {SCD} \right)} \right)\).
Gọi \(M\) là trung điểm \(CD \Rightarrow HM \bot CD\).
Dễ dàng chứng minh được \(CD \bot \left( {SHM} \right)\).
Trong \(\Delta SHM\) kẻ \(HK \bot SM\)
Ta có: \(\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{HK \bot SM}\\{CD \bot \left( {SHM} \right) \Rightarrow CD \bot HK}\end{array}} \right\} \Rightarrow HK \bot \left( {SCD} \right)\).
Suy ra \(d\left( {H,\left( {SCD} \right)} \right) = HK = \frac{a}{2}\).
Xét \(\Delta SHM\) vuông tại \(H\) có \(HK\) là đường cao
\( \Rightarrow \frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{M^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{H{M^2}}} = \frac{1}{{H{K^2}}} - \frac{1}{{S{H^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}} - \frac{1}{{3{a^2}}} = \frac{{11}}{{3{a^2}}}\)\( \Rightarrow HM = \frac{{\sqrt {33} }}{{11}}a\)
\( \Rightarrow AD = \frac{{a\sqrt {33} }}{{11}}\).
\( \Rightarrow {S_{ABCD}} = AD.AB = 2a \cdot \frac{{a\sqrt {33} }}{{11}} = \frac{{2{a^2}\sqrt {33} }}{{11}}\)
Vậy thể tích khối chóp là: \(V = \frac{1}{3} \cdot a\sqrt 3 \cdot \frac{{2{a^2}\sqrt {33} }}{{11}} = \frac{{2{a^3}\sqrt {11} }}{{11}}\). Chọn D.
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 140.000₫ )
- Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Điều kiện: \(x > - 25\).
Ta có: \(\left( {{3^{{x^2}}} - {9^x}} \right)\left[ {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x + 25} \right) - 3} \right] \le 0\)
Trường hợp 1: \({3^{{x^2}}} - {9^x} \ge 0\) và \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x + 25} \right) - 3 \le 0\).
\(\left\{ \begin{array}{l}{3^{{x^2}}} - {9^x} \ge 0\\{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x + 25} \right) - 3 \le 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{3^{{x^2}}} \ge {3^{2x}}\\x + 25 \le {3^3}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} \ge 2x\\x \le 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \le 0\\x \ge 2\end{array} \right.\\x \le 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le 0\\x = 2\end{array} \right.\).
Mà \(x > - 25\) nên \(\left[ \begin{array}{l} - 25 < x \le 0\\x = 2\end{array} \right.\).
Trường hợp 2: \({3^{{x^2}}} - {9^x} \le 0\) và \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x + 25} \right) - 3 \ge 0\).
\(\left\{ \begin{array}{l}{3^{{x^2}}} - {9^x} \le 0\\{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x + 25} \right) - 3 \ge 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{3^{{x^2}}} \le {3^{2x}}\\x + 25 \ge {3^3}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} \le 2x\\x \ge 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 2\\x \ge 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x = 2\).
Tóm lại, có 26 giá trị nguyên của \(x\) thỏa mãn bất phương trình đã cho. Chọn C.
Câu 2
A. \(\frac{{\sqrt 5 }}{2}\).
B. \(\sqrt 5 \).
C. \(\frac{3}{4}\).
D. \(\frac{4}{3}\).
Lời giải
Gọi \(M\) là trung điểm của \(B'C'\).
Do tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) và lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ đứng nên \(A'M \bot B'C'\) và \(AM \bot B'C\).
Vậy \(\left[ {A,B'C',A'} \right] = \widehat {A'MA} = 30^\circ \).
Xét tam giác \(A'C'B'\) có \(A'C' = A'B' = 3\) và \(\widehat {B'A'C'} = 120^\circ \) nên \(A'M = 1,5\).
Xét tam giác \(AA'M\) vuông tại \(A'\) có \(AA' = A'M \cdot \tan 30^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Do \(A'C\) cắt \(AC'\) tại trung điểm I nên ta có
\(d\left( {BC,\left( {AB'C'} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {AB'C'} \right)} \right) = d\left( {A',\left( {AB'C'} \right)} \right) = A'H\).
Có \(\frac{1}{{A'{H^2}}} = \frac{1}{{A'{M^2}}} + \frac{1}{{A'{A^2}}} = \frac{{16}}{9} \Rightarrow A'H = \frac{3}{4}\).
Vậy \(d\left( {BC,\left( {AB'C'} \right)} \right) = \frac{3}{4}\). Chọn C.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \(a = {b^2}\).
B. \(a = b\).
C. \({a^3} = b\).
D. \({a^2} = b\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập