Viết phương trình tiếp tuyến \(d\) của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - {x^2} + 2\) tại điểm có hoành độ dương, biết \(d\) tạo với trục hoành một góc \(45^\circ \).    

Gọi \(M\) là trung điểm của \(B'C'\).

Do tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) và lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ đứng nên \(A'M \bot B'C'\) và \(AM \bot B'C\).

Vậy \(\left[ {A,B'C',A'} \right] = \widehat {A'MA} = 30^\circ \).

Xét tam giác \(A'C'B'\) có \(A'C' = A'B' = 3\) và \(\widehat {B'A'C'} = 120^\circ \) nên \(A'M = 1,5\).

Xét tam giác \(AA'M\) vuông tại \(A'\) có \(AA' = A'M \cdot \tan 30^\circ  = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Do \(A'C\) cắt \(AC'\) tại trung điểm I nên ta có

\(d\left( {BC,\left( {AB'C'} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {AB'C'} \right)} \right) = d\left( {A',\left( {AB'C'} \right)} \right) = A'H\).

Có \(\frac{1}{{A'{H^2}}} = \frac{1}{{A'{M^2}}} + \frac{1}{{A'{A^2}}} = \frac{{16}}{9} \Rightarrow A'H = \frac{3}{4}\).

Vậy \(d\left( {BC,\left( {AB'C'} \right)} \right) = \frac{3}{4}\). Chọn C.

Điều kiện: \(x >  - 25\).

Ta có: \(\left( {{3^{{x^2}}} - {9^x}} \right)\left[ {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x + 25} \right) - 3} \right] \le 0\)

Trường hợp 1: \({3^{{x^2}}} - {9^x} \ge 0\) và \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x + 25} \right) - 3 \le 0\).

\(\left\{ \begin{array}{l}{3^{{x^2}}} - {9^x} \ge 0\\{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x + 25} \right) - 3 \le 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{3^{{x^2}}} \ge {3^{2x}}\\x + 25 \le {3^3}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} \ge 2x\\x \le 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \le 0\\x \ge 2\end{array} \right.\\x \le 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le 0\\x = 2\end{array} \right.\).

Mà \(x >  - 25\) nên \(\left[ \begin{array}{l} - 25 < x \le 0\\x = 2\end{array} \right.\).

Trường hợp 2: \({3^{{x^2}}} - {9^x} \le 0\) và \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x + 25} \right) - 3 \ge 0\).

\(\left\{ \begin{array}{l}{3^{{x^2}}} - {9^x} \le 0\\{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x + 25} \right) - 3 \ge 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{3^{{x^2}}} \le {3^{2x}}\\x + 25 \ge {3^3}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} \le 2x\\x \ge 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 2\\x \ge 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x = 2\).

Tóm lại, có 26 giá trị nguyên của \(x\) thỏa mãn bất phương trình đã cho. Chọn C.