(1,5 điểm) Một người có tầm mắt cao \[1,6{\rm{ m}}\] đứng trên sân thượng của một tòa nhà cao \[{\rm{25 m}}\] nhìn thấy một chiếc xe đang đứng yên với góc nghiêng xuống \[35^\circ \] (như hình vẽ).

1. Viết tỉ số lượng giác \(\sin ,\,\,\tan \) của góc \(35^\circ \) theo các cạnh \(AB,\,\,BC,\,\,CA.\)

Hướng dẫn giải

Gọi khối lượng viên kim cương là \(M\)\(\left( {M > 0} \right).\)

Vì giá bán của viên kim cương tỉ lệ với bình phương khối lượng của nó nên \(T = kM{}^2\) (\(k\) là hằng số và \(k > 0\)).

Khi cắt viên kim cương thành ba phần có khối lượng \(x;\,\,y;\,\,z\) với \(x + y + z = M\).

Giá bán của ba phần tương ứng là \(k{x^2};\,\,k{y^2};\,\,k{z^2}\).

Tổng giá bán của ba phần là \(k{x^2} + k{y^2} + k{z^2} = k\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)\).

Với mọi \(x;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} z\) ta có \({\left( {x - y} \right)^2} \ge 0;\,\,\,{\left( {y - z} \right)^2} \ge 0;\,\,\,{\left( {x - z} \right)^2} \ge 0\).

Suy ra \({\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {y - z} \right)^2} + {\left( {x - z} \right)^2} \ge 0\)

\(2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 2xy - 2yz - 2zx \ge 0\)

\(3\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) \ge {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2xy + 2yz + 2xz\)

\(3\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) \ge {\left( {x + y + z} \right)^2}\)

\({x^2} + {y^2} + {z^2} \ge \frac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{3}\)

\({x^2} + {y^2} + {z^2} \ge \frac{{{M^2}}}{3}\)

Như vậy \(k{x^2} + k{y^2} + k{z^2} \ge k\frac{{{M^2}}}{3}\)hay \(k{x^2} + k{y^2} + k{z^2} \ge \frac{T}{3}\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = z = \frac{M}{3}\).

Như vậy, khi chia viên kim cương thành ba phần bằng nhau thì giá bán giảm mạnh nhất và giảm ba lần.

a) Điều kiện xác định \(x \ne  - 1,\,\,x \ne 1.\)

Ta có: \(\frac{{x - 1}}{{x + 1}} - \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = \frac{4}{{1 - {x^2}}}\)

\[\frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} - \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{ - 4}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\]

\(\frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} - {{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{ - 4}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\)

\({\left( {x - 1} \right)^2} - {\left( {x + 1} \right)^2} =  - 4\)

\(\left( {x - 1 + x + 1} \right)\left( {x - 1 - x - 1} \right) =  - 4\)

\(2x.\left( { - 2} \right) =  - 4\)

\( - 4x =  - 4\)

    \(x = 1\) (không thỏa mãn).