Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), \(SA = a\sqrt 3 \), tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) có \(AC = 2a\), \(BC = a\). Góc giữa \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng        

Ta có \[M\] là trung điểm của \[AB\].

Theo giả thiết suy ra \[ABCD\] là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính \[AB\]

\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\widehat {ACB} = 90^\circ ;\widehat {ABC} = 60^\circ \\AC = a\sqrt 3 \end{array} \right.\]

Vì \[DM{\rm{//}}BC \Rightarrow DM{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\]

Nên \[d\left( {DM,SB} \right) = d\left( {DM,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {M,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)\] (vì \[MB = \frac{1}{2}AB\]).

Kẻ \[AH \bot SC\].

Ta lại có \[\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AC\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAC} \right)\]\[ \Rightarrow AH \bot BC\].

Khi đó \[\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SC\\AH \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH\].

Xét tam giác \[SAC\] vuông tại \[A\], ta có

\[A{H^2} = \frac{{A{C^2} \cdot S{A^2}}}{{A{C^2} + S{A^2}}} = \frac{{{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2} \cdot {{\left( {3a} \right)}^2}}}{{{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {3a} \right)}^2}}} = \frac{{9{a^2}}}{4}\]\[ \Rightarrow AH = \frac{3}{2}a\].

Vậy \[d\left( {DM,SB} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{1}{2}AH = \frac{{3a}}{4}\].

a) Ta có: \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), mà \(BC \subset \left( {ABCD} \right)\)\( \Rightarrow BC \bot SA\).

Và \(BC \bot AB\) (do \(ABCD\) là hình vuông).

Mà \(SA,AB \subset \left( {SAB} \right)\). Vậy \(BC \bot \left( {SAB} \right)\).

b) Ta có: \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), mà \(BD \subset \left( {ABCD} \right)\)\( \Rightarrow SA \bot BD\).

Và \(BD \bot AC\) (do \(ABCD\) là hình vuông).

Mà \(SA,AC \subset \left( {SAC} \right)\).

Suy ra \(BD \bot \left( {SAC} \right)\).

Mặt khác ta có: \(BD \subset \left( {SBD} \right)\).

Vậy \(\left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right)\).