Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông tâm \(O\) cạnh \(a\). Hình chiếu vuông góc của \(S\) xuống mặt phẳng đáy là trung điểm của \(AO\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,AD\). Biết thể tích của hình chóp là \(V = \frac{{2{a^3}}}{3}\), góc giữa hai đường thẳng \(SM\) và \(CN\) gần nhất với giá trị nào sau đây?
A. \({87^ \circ }\).
B. \({88^ \circ }\).
C. \({89^ \circ }\)
D. \({90^ \circ }\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là A
Phương pháp giải
Chọn đường thẳng trung gian song song với một đường thẳng và cắt đường thẳng còn lại.
Lời giải
Gọi \(K\) là điểm thuộc cạnh \(BC\) sao cho \(\frac{{BK}}{{BC}} = \frac{1}{4}\).
Ta chứng minh được \(MK//CN\), do đó góc cần tính trở thành góc giữa \(SM\) và \(MK\).
Có \(SH = \frac{{3V}}{{{S_{ABCD}}}} = \frac{{3.\frac{{2{a^3}}}{3}}}{{{a^2}}} = 2a\)
Có \(MH = \frac{1}{2}BO = \frac{1}{2}.\frac{a}{{\sqrt 2 }} = \frac{a}{{2\sqrt 2 }}\)
Có \(KH = \frac{3}{4}AB = \frac{3}{4}a = \frac{{3a}}{4}\)
Có \(MK = \sqrt {B{M^2} + B{K^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{4}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{4}\)
Có \(SM = \sqrt {S{H^2} + M{H^2}} = \sqrt {{{(2a)}^2} + {{\left( {\frac{a}{{2\sqrt 2 }}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {66} }}{4}\)
Có \(SK = \sqrt {S{H^2} + H{K^2}} = \sqrt {{{(2a)}^2} + {{\left( {\frac{{3a}}{4}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {73} }}{4}\)
Có \({\rm{cos}}\widehat {SMK} = \frac{{S{M^2} + M{K^2} - S{K^2}}}{{2SM.MK}} = \frac{{\frac{{66{a^2}}}{{16}} + \frac{{5{a^2}}}{{16}} - \frac{{73{a^2}}}{{16}}}}{{2.\frac{{a\sqrt {66} }}{4}.\frac{{a\sqrt 5 }}{4}}} = - \frac{1}{{\sqrt {330} }}\)
\( \Rightarrow \left( {SM,MK} \right) = {\rm{arccos}}\left( {\left| {\frac{{ - 1}}{{\sqrt {330} }}} \right|} \right) \approx {87^0}\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 140.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. \(145,5{\rm{\;cm}}\).
B. \(155,5{\rm{\;cm}}\).
C. \(165,5{\rm{\;cm}}\).
D. \(175,5{\rm{\;cm}}\).
Lời giải
Đáp án đúng là C
Phương pháp giải
Áp dụng công thức
Lời giải
Trung bình chiều cao các học sinh trong lớp là:
\(\overline x = 0,15.\frac{{145 + 155}}{2} + 0,3.\frac{{155 + 165}}{2} + 0,4.\frac{{165 + 175}}{2} + 0,15.\frac{{175 + 185}}{2} = 165,5\) (cm)
Lời giải
Đáp án đúng là "128"
Phương pháp giải
Vẽ bảng biến thiên của hàm số cho từng trường hợp của \(m\).
Lời giải
Với \(m = 0\), hàm số \(f\left( x \right) = {x^2}\) không có giá trị nhỏ nhất trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Với \(m < 0\), có nên hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Với \(m > 0\), ta xét hàm số:
\(f'\left( x \right) = 2x - \frac{m}{{{x^2}}}\). Cho \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{2{x^3} - m}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{\frac{m}{2}}}\)
Khi đó, vẽ bảng biến thiên, ta thấy hàm số đã cho đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = \sqrt[3]{{\frac{m}{2}}}\). Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(f\left( {\sqrt[3]{{\frac{m}{2}}}} \right) = \sqrt[3]{{\frac{{{m^2}}}{4}}} + \sqrt[3]{{2{m^2}}} + m = m + \frac{3}{2}\sqrt[3]{{2{m^2}}}\)
Cho
\(m + \frac{3}{2}\sqrt[3]{{2{m^2}}} = 176 \Leftrightarrow 2.\frac{m}{2} + 3\sqrt[3]{{{{\left( {\frac{m}{2}} \right)}^2}}} = 176\)
\( \Leftrightarrow \left( {\sqrt[3]{{\frac{m}{2}}} - 4} \right)\left( {2{{\left( {\sqrt[3]{{\frac{m}{2}}}} \right)}^2} + 11\sqrt[3]{{\frac{m}{2}}} + 44} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \sqrt[3]{{\frac{m}{2}}} = 4 \Leftrightarrow m = 128\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \(5,0{\rm{\% }}\).
B. \(4,2{\rm{\% }}\).
C. \(5,6{\rm{\% }}\).
D. \(10{\rm{\% }}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. \(\frac{2}{7}\).
B. \(\frac{3}{7}\)
C. \(\frac{3}{8}\).
D. \(\frac{4}{7}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập