Biểu đồ quạt dưới đây thể hiện chiều cao của 40 học sinh trong một lớp (đơn vị: cm):

Trung bình chiều cao các học sinh trong lớp là:

Đáp án đúng là "128"

Phương pháp giải

Vẽ bảng biến thiên của hàm số cho từng trường hợp của \(m\).

Lời giải

Với \(m = 0\), hàm số \(f\left( x \right) = {x^2}\) không có giá trị nhỏ nhất trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Với \(m < 0\), có  nên hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Với \(m > 0\), ta xét hàm số:

\(f'\left( x \right) = 2x - \frac{m}{{{x^2}}}\). Cho \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{2{x^3} - m}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{\frac{m}{2}}}\)

Khi đó, vẽ bảng biến thiên, ta thấy hàm số đã cho đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = \sqrt[3]{{\frac{m}{2}}}\). Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(f\left( {\sqrt[3]{{\frac{m}{2}}}} \right) = \sqrt[3]{{\frac{{{m^2}}}{4}}} + \sqrt[3]{{2{m^2}}} + m = m + \frac{3}{2}\sqrt[3]{{2{m^2}}}\)

Cho

\(m + \frac{3}{2}\sqrt[3]{{2{m^2}}} = 176 \Leftrightarrow 2.\frac{m}{2} + 3\sqrt[3]{{{{\left( {\frac{m}{2}} \right)}^2}}} = 176\)

\( \Leftrightarrow \left( {\sqrt[3]{{\frac{m}{2}}} - 4} \right)\left( {2{{\left( {\sqrt[3]{{\frac{m}{2}}}} \right)}^2} + 11\sqrt[3]{{\frac{m}{2}}} + 44} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \sqrt[3]{{\frac{m}{2}}} = 4 \Leftrightarrow m = 128\)

Đáp án đúng là "7"

Phương pháp giải

Từ công thức truy hồi tìm công thức tổng quát của dãy số

Lời giải

Ta biến đổi công thức truy hồi của dãy số như sau:

\({u_{n + 1}} = 3{u_n} - 6n + {2^n} + 3\)

\( \Leftrightarrow {u_{n + 1}} - 3\left( {n + 1} \right) + {2^{n + 1}} = 3{u_n} - 9n + {3.2^n}\)

\( \Leftrightarrow {u_{n + 1}} - 3\left( {n + 1} \right) + {2^{n + 1}} = 3\left( {{u_n} - 3n + {2^n}} \right)\)

Đặt \({u_n} - 3n + {2^n} = {v_n}\forall n \in {N^{\rm{*}}}\), ta có

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{v_1} = {u_1} - 3.1 + {2^1} = 4 - 3 + 2 = 3}\\{{v_{n + 1}} = 3{v_n}\forall n \in {N^{\rm{*}}}}\end{array} \Rightarrow {v_n} = {3^n}\forall n \in {N^{\rm{*}}}} \right.\)

Khi đó

\({u_n} = {3^n} - {2^n} + 3n\forall n \in {N^{\rm{*}}} \Rightarrow {u_{2024}} = {3^{2024}} - {2^{2024}} + 3.2024\)\( \Rightarrow {u_{2024}} = {81^{506}} - {16^{506}} + 6072\)

Do \({81^{506}}\) có tận cùng là \(1\), \({16^{506}}\) có tận cùng là 6 nên \({u_{2024}} = {81^{506}} - {16^{506}} + 6072\) có tận cùng là 7.