Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 100;100} \right]\) để hàm số \(y = \left( {{x^9} + 8{x^7} + 6{x^5} + m{x^3}} \right)\left( {{x^8} + 7{x^4}} \right) + 3m\) nhận \({x_0} = 0\) làm điểm cực tiểu?

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Xét dấu của đạo hàm hàm số trên với các giá trị của \(m\).

Lời giải

Có \(y = {x^{17}} + \ldots + 42{x^9} + 7m{x^7} + 3m;y' = 17{x^{16}} + \ldots + 378{x^8} + 49m{x^6}\)

\( = {x^6}\left( {17{x^{10}} + \ldots + 378{x^2} + 49m} \right)\)

Đặt \(g\left( x \right) = 17{x^{10}} + \ldots + 378{x^2} + 49m\)

Xét \(m < 0\), có \(g\left( 0 \right) < 0\), khi đó luôn tồn tại một lân cận \(\left( { - \varepsilon ;\varepsilon } \right)\) chứa \({x_0} = 0\) sao cho \(g\left( x \right) < 0\forall x \in \left( { - \varepsilon ;\varepsilon } \right)\). Khi đó, \(y' \le 0\forall x \in \left( { - \varepsilon ;\varepsilon } \right)\), tức là hàm số không đạt cực trị tại \({x_0} = 0\).

Xét \(m > 0\), có \(g\left( 0 \right) > 0\), khi đó luôn tồn tại một lân cận \(\left( { - \varepsilon ;\varepsilon } \right)\) chứa \({x_0} = 0\) sao cho \(g\left( x \right) > 0\forall x \in \left( { - \varepsilon ;\varepsilon } \right)\). Khi đó, \(y' \ge 0\forall x \in \left( { - \varepsilon ;\varepsilon } \right)\), tức là hàm số không đạt cực trị tại \({x_0} = 0\).

Xét \(m = 0\), có \(y' = {x^8}\left( {17{x^8} + \ldots + 378} \right)\). Đặt \(h\left( x \right) = 17{x^8} + \ldots + 378\). Do \(h\left( 0 \right) > 0\), khi đó luôn tồn tại một lân cận \(\left( { - \varepsilon ;\varepsilon } \right)\) chứa \({x_0} = 0\) sao cho \(h\left( x \right) > 0\forall x \in \left( { - \varepsilon ;\varepsilon } \right)\). Khi đó, \(y' \ge 0\forall x \in \left( { - \varepsilon ;\varepsilon } \right)\), tức là hàm số không đạt cực trị tại \({x_0} = 0\).

Từ ba trường hợp, ta thấy không tồn tại giá trị của \(m\) thoả mãn yêu cầu bài toán