Một nhà máy cần sản xuất một loại bao bì bằng bìa để đựng sản phẩm của mình. Đối với mỗi sản phẩm, nhà máy sẽ có thể sử dụng $250c{m}^2$ bìa để làm bao bì. Có hai phương án sản xuất bao bì cho nhà máy như sau.

Phương án 1: Bao bì có dạng hình trụ.

Phương án 2: Bao bì có dạng hình hộp chữ nhật, với đáy hộp có dạng hình vuông. Lưu ý, các loại bao bì cần phải có đủ hai đáy.

Hỏi thể tích lớn nhất mà bao bì có thể tạo thành là bao nhiêu? (nhập đáp án vào ô trống, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị, đơn vị cm³)

Đáp án:  ____

Đáp án đúng là "303"

Phương pháp giải

Xét hai trường hợp, đối với mỗi trường hợp lập hàm số, tìm thể tích lớn nhất có thể.

Lời giải

Xét phương án 1: Bao bì có dạng hình trụ:

Gọi đáy của hình trụ là hình tròn có bán kính \(R > 0\). Khi đó chiều cao của hình trụ bằng

\(h = \frac{{S - 2{S_{{\rm{bottom}}}}}}{{{C_{{\rm{bottom}}}}}} = \frac{{S - 2\pi {R^2}}}{{2\pi R}}\)

Từ đó suy ra thể tích hình trụ là

\({V_{{\rm{cylinder\;}}}} = \pi {R^2}h = \frac{{ - 2\pi {R^3} + SR}}{2} \Rightarrow V_{{\rm{cylinder\;}}}\left( R \right) = \frac{{ - 6\pi {R^2} + S}}{2}\)

Cho \(V_{{\rm{cylinder\;}}}\left( R \right) = \frac{{ - 6\pi {R^2} + S}}{2} = 0 \Leftrightarrow R = \sqrt {\frac{S}{{6\pi }}} \).

Xét hàm số \(V\left( R \right)\), kẻ bảng biến thiên, ta xác định được thể tích hình trụ lớn nhất là

\({V_{{\rm{cylinder\_max\;}}}} = \frac{S}{3}.\sqrt {\frac{S}{{6\pi }}} \) khi \(R = \sqrt {\frac{S}{{6\pi }}} \)

Xét phương án 1: Bao bì có dạng hình hộp chữ nhật:

Gọi đáy của hình hộp là hình vuông có cạnh \(a > 0\). Khi đó chiều cao của hình hộp bằng

\(h = \frac{{S - 2{S_{{\rm{bottom}}}}}}{{{C_{{\rm{bottom}}}}}} = \frac{{S - 2{a^2}}}{{4a}}\)

Từ đó suy ra thể tích hình hộp là \({V_{{\rm{box\;}}}} = {a^2}h = \frac{{ - 2{a^3} + Sa}}{4} \Rightarrow V_{{\rm{box\;}}}\left( a \right) = \frac{{ - 6{a^2} + S}}{4}\)

Cho \(V_{{\rm{box\;}}}\left( a \right) = \frac{{ - 6{a^2} + S}}{4} = 0 \Leftrightarrow a = \sqrt {\frac{S}{6}} \)

Xét hàm số \(V\left( R \right)\), kẻ bảng biến thiên, ta xác định được thể tích hình hộp lớn nhất là

\({V_{{\rm{box\_max\;}}}} = \frac{S}{6}.\sqrt {\frac{S}{6}} \) khi \(a = \sqrt {\frac{S}{6}} \).

Từ hai trường hợp, ta suy ra thể tích lớn nhất có thể tạo thành khi sử dụng phương án làm hộp dạng hình trụ. Khi đó, thể tích cần tìm là \({V_{{\rm{max}}}} = \frac{{250}}{3}\sqrt {\frac{{250}}{{6\pi }}}  \approx 303,49\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\)