Biết tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y= \frac{m^2{x}^2-2mx -n}{2n - 6}$ $m khác 0$ luôn là tiếp tuyến của đồ thị hàm số$y = \frac{-1}{2x +k}$ khi m, n thay đổi. Giá trị của k bằng bao nhiêu? (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:  __

 

Đáp án đúng là "6"

Phương pháp giải

Tìm phương trình tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

Lời giải

Có \(y = \left( {\frac{{{m^2}}}{2}x + \frac{{3{m^2} - 2m}}{2}} \right) + \frac{{9{m^2} - 6m - n}}{{2x - 6}}\), từ đó suy ra tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho là \(y = \frac{{{m^2}}}{2}x + \frac{{3{m^2} - 2m}}{2}\).

Tiếp tuyến tại một điểm có hoành độ \({x_0}\) của đồ thị hàm số là

\(y = \frac{2}{{{{\left( {2{x_0} + k} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) - \frac{1}{{2{x_0} + k}} = \frac{2}{{{{\left( {2{x_0} + k} \right)}^2}}}x - \frac{{4{x_0} + k}}{{{{\left( {2{x_0} + k} \right)}^2}}}\)

Để đường thẳng \(y = \frac{{{m^2}}}{2}x + \frac{{3{m^2} - 2m}}{2}\) luôn là tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{2}{{{{\left( {2{x_0} + k} \right)}^2}}} = \frac{{{m^2}}}{2}}\\{\frac{{ - 4{x_0} - k}}{{{{\left( {2{x_0} + k} \right)}^2}}} = \frac{{3{m^2} - 2m}}{2}}\end{array}} \right.\) (1) luôn có nghiệm \({x_0} \ne \frac{{ - k}}{2}\) với mọi \(m \ne 0\).

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_0} = \frac{{ \pm 1}}{m} - \frac{k}{2}}\\{\frac{{ - 4{x_0} - k}}{{{{\left( {2{x_0} + k} \right)}^2}}} = \frac{{3{m^2} - 2m}}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_0} = \frac{{ \pm 1}}{m} - \frac{k}{2}}\\{\frac{{\frac{{ \pm 4}}{m} + k}}{{\frac{4}{{{m^2}}}}} = \frac{{3{m^2} - 2m}}{2}}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_0} = \frac{{ \pm 1}}{m} - \frac{k}{2}}\\{\frac{k}{4}{m^2} \pm m = \frac{{3{m^2} - 2m}}{2}}\end{array}} \right.\) (2)

Khi đó, để (2) luôn có nghiệm \({x_0} \ne \frac{{ - k}}{2}\) với mọi \(m \ne 0\) thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{k}{4} = \frac{3}{2}}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 = 1}\\{ - 1 = 1}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow k = 6} \right.\).

Vậy k = 6