Đáp án:  __

 

Đáp án đúng là "6"

Phương pháp giải

Sử dụng các điều kiện của tứ diện đều.

Lời giải

Do điểm \(C\) nằm trên mặt phẳng \(Oxy\) có hoành độ dương, đồng thời thoả mãn

\(CA = CB = AB = 2\) nên toạ độ điểm \(C\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(x - 1)}^2} + {{(y - 1)}^2} + {{(z - 1)}^2} = C{A^2} = 4}\\{{{(x - 1)}^2} + {{(y - 3)}^2} + {{(z - 1)}^2} = C{B^2} = 4}\\{x > 0}\\{z = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(x - 1)}^2} + {{(y - 1)}^2} = 3}\\{{{(y - 1)}^2} = {{(y - 3)}^2}}\\{x > 0}\\{z = 0}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + \sqrt 2 }\\{y = 2}\\{z = 0}\end{array} \Rightarrow C\left( {1 + \sqrt 2 ;2;0} \right)} \right.\)

Do điểm \(D\) có cao độ dương, đồng thời thoả mãn \(DA = DB = DC = AB = 2\) nên toạ độ điểm \(D\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(x - 1)}^2} + {{(y - 1)}^2} + {{(z - 1)}^2} = D{A^2} = 4}\\{{{(x - 1)}^2} + {{(y - 3)}^2} + {{(z - 1)}^2} = D{B^2} = 4}\\{{{(x - 1 - \sqrt 2 )}^2} + {{(y - 2)}^2} + {z^2} = D{C^2} = 4}\\{z > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 2}\\{{{(x - 1)}^2} + {{(z - 1)}^2} = 3}\\{{{(x - 1 - \sqrt 2 )}^2} + {z^2} = 4}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + \sqrt 2 }\\{y = 2}\\{z = 2}\end{array} \Rightarrow D\left( {1 + \sqrt 2 ;2;2} \right)} \right.\)

Khi đó, \(T = a + b + c = 2 + 2 + 2 = 6\).