Cho hàm số \[f\left( x \right)\] liên tục trên \[\mathbb{R}\] và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) =  + \infty \]. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \[m\] thuộc \[\left[ { - 2020;2020} \right]\] để đồ thị hàm số \[g\left( x \right) = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1000x}  + x}}{{\sqrt {2f\left( x \right) - {f^2}\left( x \right)}  + m}}\] có tiệm cận ngang   nằm dưới đường thẳng \[y =  - 1\] .

Đáp án: \(15\)

Từ giả thiết, điểm \(M\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - z - 1 = 0\);

Có \(MA = MB\), suy ra \(M\) thuộc mặt phẳng trung trực của \(AB\)là \(\left( Q \right):y + z = 0\);

Suy ra\(M\)thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).

Ta tìm được đó là đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3t\\y = t\\z =  - t\end{array} \right.\).

Tham số hóa \(M\left( {1 - 3t;t; - t} \right)\) thì \(\overrightarrow {AM} \left( { - 1 - 3t;t - 2; - t} \right);\overrightarrow {BM} \left( { - 1 - 3t;t; - t + 2} \right)\)

Suy ra \(\cos AMB = \frac{{\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} }}{{MA.MB}} = \frac{{{{\left( {1 + 3t} \right)}^2} + t\left( {t - 2} \right).2}}{{{{\left( {1 + 3t} \right)}^2} + {{\left( {t - 2} \right)}^2} + {t^2}}} = \frac{{11{t^2} + 2t + 1}}{{11{t^2} + 2t + 5}} = f\left( t \right)\)

Để góc \(AMB\) lớn nhất thì ta cần \[\cos AMB = f\left( t \right)\] nhỏ nhất.

Khảo sát hàm \(f\left( t \right)\)ta được \(f\left( t \right)\)nhỏ nhất khi và chỉ khi \(t =  - \frac{1}{{11}}\).

Suy ra \(M\left( {\frac{{14}}{{11}}; - \frac{1}{{11}};\frac{1}{{11}}} \right)\). Vậy \(S = 15\).

Trả lời: 8

Đặt \[HE = {x_{}}{,_{}}FK = y\], với \[x,\,y > 0\]

Ta có: \[HE + KF = 20 \Rightarrow x + y = 20\], \[\left\{ \begin{array}{l}AE = \sqrt {16 + {x^2}} \\BF = \sqrt {36 + {y^2}}  = \sqrt {36 + {{\left( {20 - x} \right)}^2}} \end{array} \right.\]

Nhận xét: Vì \[EF\] không đổi nên \[AB\] ngắn nhất khi \[AE + BF\] nhỏ nhất.

Ta có \[AE + BF\]\[ = \sqrt {{x^2} + 16}  + \sqrt {{{\left( {20 - x} \right)}^2} + 36}  = \sqrt {{x^2} + 16}  + \sqrt {{x^2} - 40x + 436}  = f\left( x \right)\]

Đạo hàm \[f'\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 16} }} + \frac{{x - 20}}{{\sqrt {{x^2} - 40x + 436} }} = 0 \Rightarrow x = 8,\,\forall x \in \left( {0;20} \right)\]\[\]

Bảng biến thiên

Vậy \(HE = 8\)km