Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\). Đồ thị của hàm số \(y = f'\left( x \right)\) được cho như hình dưới:

Số điểm cực đại của hàm số \(y = f\left( {{x^2} - 2x} \right)\) là:

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Từ đồ thị hàm số biện luận số nghiệm của đạo hàm hàm số.

Lời giải

Có \(y = g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 2x} \right);g'\left( x \right) = \left( {2x - 2} \right)f'\left( {{x^2} - 2x} \right)\).

Từ đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\), ta thấy phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có 3 nghiệm phân biệt \({x_1} < - 1 < {x_2} < {x_3}\).

Khi đó, phương trình \(g'\left( x \right) = 0\) tương đương với: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - 2 = 0\,\,\,\,\,\,(1)}\\{{x^2} - 2x = {x_1}\,\,(2)}\\{{x^2} - 2x = {x_2}\,\,(3)}\\{{x^2} - 2x = {x_3}\,\,\,(4)}\end{array}} \right.\)

Do \({x_1} < - 1 < {x_2} < {x_3}\) nên phương trình (2) vô nghiệm, phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt khác 1, phương trình (4) có hai nghiệm phân biệt khác 1.

Khi đó, phương trình \(g'\left( x \right) = 0\) có 5 nghiệm phân biệt \(1,a,b,c,d\,\,(a < b < 1 < c < d)\). Qua đó, ta vẽ được bảng biến thiên của hàm số \(g\left( x \right)\) như sau:

Từ bảng biến thiên, ta suy ra hàm số \(g\left( x \right)\) có 2 điểm cực đại.