Bạn Nam có một tờ giấy hình chữ nhật, kích thước 15x20 cm. Nam muốn cắt phần giấy màu xám nhạt như hình vẽ bên, sao cho sau khi cắt, bạn ấy có thể gấp phần còn lại thành một hình hộp chữ nhật có nắp hoàn chỉnh. Coi một đáy của hình hộp chữ nhật sau khi cắt là phần được tô màu đỏ.

Tính thể tích lớn nhất của chiếc hộp tạo thành.

(nhập đáp án vào ô trống, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Đáp án:  ____

 

Đáp án đúng là "190"

Phương pháp giải

Biểu diễn các kích thước của hình hộp, sau đó lập phương trình.

Lời giải

​

Ta kí hiệu các kích thước của hộp như hình vẽ bên:

Với cách ký hiệu và các kích thước của tờ giấy, ta có hệ phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các độ dài như sau: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2a + 2c = 20}\\{b + 2c = 15}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 10 - c}\\{b = 15 - 2c}\end{array}} \right.} \right.\)

Khi đó, ta có điều kiện của \(c:0 < c < 7,5\).

Thể tích của hình hộp là \(V = a.b.c = \left( {10 - c} \right).\left( {15 - 2c} \right).c = 2{c^3} - 35{c^2} + 150c\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).

Có \(V'\left( c \right) = 6{c^2} - 70c + 150\). Cho \(V'\left( c \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = \frac{{35 + 5\sqrt {13} }}{6}\left( l \right)}\\{c = \frac{{35 - 5\sqrt {13} }}{6}}\end{array}} \right.\).

Khi đó, vẽ bảng biến thiên, ta thấy thể tích của hình hộp đạt giá trị lớn nhất

\({V_{{\rm{max}}}} \approx 189,52\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\) khi \(c = \frac{{35 - 5\sqrt {13} }}{6}\left( {{\rm{cm}}} \right)\).