Tập hợp tất cả các giá trị của \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{{1 + \sqrt {x + 1} }}{{\sqrt {{x^2} - mx - 3m} }}\) có đúng 2 tiệm cận đứng là:

 

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Xác định nghiệm khi cho mẫu số bằng 0.

Lời giải

Điều kiện xác định của hàm số: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge - 1}\\{{x^2} - mx - 3m > 0}\end{array}} \right.\)

Khi đó, do \(1 + \sqrt {x + 1} > 0\) nên để hàm số đã cho có 2 tiệm cận đứng

\( \Leftrightarrow \) Phương trình \({x^2} - mx - 3m = 0\) (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2} \ge - 1\).

Xét (1). Có \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} = m\left( {x + 3} \right) \Leftrightarrow m = \frac{{{x^2}}}{{x + 3}}\) (với điều kiện \(x \ge - 1\))

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{{x + 3}}\left( {x \ge - 1} \right)\), có \(f'\left( x \right) = \frac{{2x\left( {x + 3} \right) - {x^2}}}{{{{(x + 3)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 6x}}{{{{(x + 3)}^2}}}\). Cho \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = - 6}\end{array}} \right.\).

Khi đó ta có bảng biến thiên của hàm số \(y = f\left( x \right)\) như sau:

Từ bảng biến thiên, để phương trình (1) có 2 nghiệm thực phân biệt \({x_1},{x_2} \ge - 1\) thì \(m \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right]\).