Cho tứ diện \(ABCD\) có tọa độ các đỉnh là \(A\left( {3;0;1} \right),B\left( {1;2;4} \right),C\left( {0;5;3} \right),D\left( {2;3;4} \right)\). Thể tích của tứ diện \(ABCD\) là:

 

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Tìm diện tích của một đáy và chiều cao của tứ diện.

Lời giải

Ta tính được \(BC = \sqrt {11} ,CD = 3,BD = \sqrt 2 \Rightarrow B{D^2} + C{D^2} = B{C^2} \Rightarrow \) tam giác \(BCD\) vuông tại \(D\).

Khi đó, diện tích tam giác \(BCD\) bằng \({S_{BCD}} = \frac{{BD.CD}}{2} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\).

Ta tìm được phương trình mặt phẳng qua 3 điểm \(B,C,D\) là: \(x - y - 4z + 17 = 0\).

Khi đó, khoảng cách từ điểm \(A\) tới mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) là:

\(d\left( {A;\left( {BCD} \right)} \right) = \frac{{\left| {3 - 0 - 4.1 + 17} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {4^2}} }} = \frac{{8\sqrt 2 }}{3}\)

Thể tích tứ diện \(ABCD\) là: \({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}d\left( {A;\left( {BCD} \right)} \right).{S_{BCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{8\sqrt 2 }}{3}.\frac{{3\sqrt 2 }}{2} = \frac{8}{3}\).