Người ta muốn thiết kế một chiếc đĩa. Biết rằng hình dạng của chiếc đĩa là phần chung của 2 elip có phương trình lần lượt là $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} =1$ và $\frac{x^2}{9} +\frac{y^2}{16} =1$ 

Coi như bề mặt của chiếc đĩa là phẳng. Tính diện tích của bề mặt chiếc đĩa. (nhập đáp án vào ô trống, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Đáp án:  ___

 

Đáp án đúng là "31"

Phương pháp giải

Viết phương trình của các đường elip, từ đó sử dụng tích phân để tính diện tích.

Lời giải

​

Do chiếc đĩa đối xứng qua hai trục toạ độ nên ta xét phần đĩa nằm ở góc phần tư thứ nhất.

Xét phần đĩa ở góc phần tư thứ nhất. Toạ độ giao điểm của 2 elip là nghiệm \(x,y > 0\) của hệ:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1}\\{\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1}\end{array} \Leftrightarrow x = y = \frac{{12}}{5}} \right.\)

Phương trình của hai elip ở góc phần tư thứ nhất có thể viết lại:

\(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1 \Leftrightarrow y = 3\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{16}}} ;\,\,\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1 \Leftrightarrow y = 4\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{9}} .\)

Chia phần chiếc đĩa ở góc phần tư thứ nhất thành hai phần như hình vẽ, khi đó ta tính được diện tích của đĩa ở góc phần tư thứ nhất là:

Khi đó, diện tích chiếc đĩa là \(4S \approx 30,888\).