Một trạm phát tín hiệu chỉ phát hai loại tín hiệu X và Y với xác suất tương ứng là 0,72 và 0,28. Do có nhiễu trên đường truyền tín hiệu nên khả năng tín hiệu X bị méo thành tín hiệu Y là \(\frac{1}{6}\), và khả năng tín hiệu Y bị méo thành tín hiệu X là \(\frac{1}{4}\). Biết rằng tín hiệu thu được là tín hiệu đúng so với tín hiệu phát, xác suất để tín hiệu đó là tín hiệu Y là bao nhiêu?

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Vận dụng công thức xác suất có điều kiện.

Lời giải

Gọi \(A\) là biến cố "Trạm phát tín hiệu phát tín hiệu X".

Gọi \(H\) là biến cố "Tín hiệu không bị nhiễu trên đường truyền".

Gọi \(M\) là biến cố "Thu được tín hiệu \(X\)". Từ các dữ kiện của đề bài, ta suy ra:

\(P\left( A \right) = 0,72;\,\,P\left( {\overline H \mid A} \right) = \frac{1}{6};\,\,P\left( {\overline H \mid \overline A } \right) = \frac{1}{4}\).

Để thu được tín hiệu \(X\). thì hoặc là thu được tín hiệu \(X\) gốc từ máy phát, hoặc là thu được tín hiệu \(Y\) bị bóp méo thành tín hiệu \(X\).

Xác suất để thu được tín hiệu X là:

\(P(M) = P(AH \cup \overline A \overline H ) = P(AH) + P(\overline A \overline H )\)

\(P\left( M \right) = P\left( {H\mid A} \right)P\left( A \right) + P\left( {\overline H \mid \overline A } \right)P\left( {\overline A } \right)\)

\(P\left( M \right) = \left( {1 - P\left( {\overline H \mid A} \right)} \right)P\left( A \right) + P\left( {\overline H \mid \overline A } \right)P\left( {\overline A } \right)\)

\(P\left( M \right) = \frac{5}{6}.0,72 + \frac{1}{4}.0,28 = 0,67\)

Biến cố \(H\) cũng chính là biến cố "Thu được tín hiệu đúng". Khi đó, nếu biết rằng tín hiệu thu được là tín hiệu đúng so với tín hiệu phát, xác suất để tín hiệu đó là tín hiệu Y là:

\(P\left( {\overline A \mid H} \right) = \frac{{P\left( {\overline A H} \right)}}{{P\left( H \right)}} = \frac{{P\left( {H\mid \overline A } \right)P\left( {\overline A } \right)}}{{P\left( {H\mid A} \right)P\left( A \right) + P\left( {H\mid \overline A } \right)P\left( {\overline A } \right)}}\)

\(P\left( {\overline A \mid H} \right) = \frac{{\left( {1 - P\left( {\overline H \mid \overline A } \right)} \right)P\left( {\overline A } \right)}}{{\left( {1 - P\left( {\overline H \mid A} \right)} \right)P\left( A \right) + \left( {1 - P\left( {\overline H \mid \overline A } \right)} \right)P\left( {\overline A } \right)}}\)

\(P\left( {\overline A \mid H} \right) = \frac{{\left( {1 - \frac{1}{4}} \right).0,28}}{{\left( {1 - \frac{1}{6}} \right).0,72 + \left( {1 - \frac{1}{4}} \right).0,28}} = \frac{7}{{27}}\)