Người ta thường dùng cẩu trục tháp (như hình vẽ) để vận chuyển vật liệu xây dựng; thân tháp vuông góc với mặt đất, cần nâng vuông góc thân tháp dùng để làm điểm tựa nâng vật liệu, trên cần nâng có bộ phận gọi là xe con, có thể chạy dọc cần nâng nhằm di chuyển vật liệu. Ban đầu vật liệu ở mặt đất, cẩu trục dùng móc cẩu nâng vật liệu lên cao theo phương thẳng đứng và cao hơn \(1\) m so với vị trí trí điểm đặt vật cần dịch chuyển đến, sau đó giữ nguyên độ cao và cẩu trục quay cần nâng một góc \(\alpha  \in ({0^^\circ };{180^^\circ })\) sao cho quỹ đạo tạo thành một cung tròn cho đến khi mặt phẳng \((P)\) chứa cần nâng và điểm cần đặt vuông góc với mặt đất (vật liệu và điểm cần đặt cùng nằm trên một nửa mặt phẳng \((P)\) so với thân tháp). Tiếp đến điều chỉnh xe con nhằm di chuyển và hạ vật liệu xuống \(1\) m theo phương thẳng đứng đúng vị trí cần đặt. Giả sử rằng trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), thân tháp là trục \(Oz\) và mặt đất là mặt phẳng \(Oxy\) (đơn vị tính bằng mét); vị trí ban đầu của vật liệu là điểm \(A(6\,;8\,;0)\) và vị trí cần đặt vật liệu là điểm \(B(4\,; - 3\,;15)\). Tính quãng đường vật liệu đã di chuyển (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Gọi nhà ở điểm \(A\), chợ ở điểm \(D\), đoạn trên bờ biển là \(BC = 500{\rm{m}}{\rm{.}}\)

Độ dài đoạn \(AH = 1000 - 400 = 600{\rm{m}}{\rm{, }}HD = \sqrt {D{A^2} - A{H^2}}  = 800{\rm{m}}{\rm{.}}\)

Gọi \(M = {{\rm{T}}_{\overrightarrow {BC} }}(M),M'\) đối xứng với \(M\) qua bờ sông. Khi đó, \(MB = MC = M'C.\) Gọi \(C\) là giao điểm của \(M'D\) với bờ sông.

Ta được

\(\begin{array}{l}MB + BC + CD + DA = MC + 500 + CD + 1000 = 1500 + MC + CD\\ &  = 1500 + M'C + CD \ge 1500 + M'D = 1500 + \sqrt {{{1400}^2} + {{200}^2}}  \approx 2914{\rm{m}}{\rm{.}}\end{array}\)

Đặt hệ trục toạ độ \(Oxyz\), sao cho gốc toạ độ trùng với điểm \(B\), tia \(BA\) trùng tia \(Ox\), tia \(Oy\) đối xứng với tia \(Ox\) qua tia \(BC\) (do góc \(\widehat {ABC} = 45^\circ \)), tia \(Oz\) vuông góc với \(mp\left( {ABC} \right)\)

Khi đó \(B\left( {0;0;0} \right)\), \(A\left( {4a;0;0} \right)\), \(C\left( {3a;3a;0} \right)\) (do \(C\) nằm trên tia phân giác góc \(\widehat {xOy}\) nên \({x_C} = {y_C} = BC.\sin 45^\circ  = 3a\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2} = 3a)\).

Gọi \(S\left( {x;y;z} \right)\).

Từ \(\overrightarrow {BC}  \bot \overrightarrow {BS} \) suy ra \(x + y = 0\quad \left( 1 \right)\) và \(\overrightarrow {AC}  \bot \overrightarrow {AS} \) suy ra \(x - 3y = 4a\quad \left( 2 \right)\).

Từ (1) và (2) có \(x = a;\;y =  - a\), do đó \(S\left( {a; - a;z} \right)\).

Có VTPT của \(mp\left( {SBA} \right)\) là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left[ {\overrightarrow {BS} ,\overrightarrow {BA} } \right] = \left( {0;az;{a^2}} \right) = a\left( {0;z;a} \right)\)

Có VTPT của \(mp\left( {SBC} \right)\) là \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left[ {\overrightarrow {BS} ,\overrightarrow {BC} } \right] = \left( { - az;az;2{a^2}} \right) = a\left( { - z;z;2a} \right)\)

Gọi \(\beta \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBA} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\), do\(\beta \) bằng hoặc bù với \(\alpha \) nên \(\cos \beta  = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha }  = \frac{{\sqrt {14} }}{4}\)\( = \frac{{\left| {{z^2} + 2{a^2}} \right|}}{{\sqrt {{z^2} + {a^2}} .\sqrt {2{z^2} + 4{a_2}} }} = \frac{{\sqrt {{z^2} + 2{a^2}} }}{{\sqrt {{z^2} + {a^2}} .\sqrt 2 }}\)

\( \Leftrightarrow 2\sqrt {{z^2} + 2{a^2}}  = \sqrt 7 .\sqrt {{z^2} + {a^2}} \)\( \Leftrightarrow z = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

Có \(S = {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}BA.BC.\sin \widehat {ABC} = \frac{1}{2}.4a.3a\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2} = 6{a^2}\) và \(h = d\left( {S,\left( {ABC} \right)} \right) = {z_S} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

Suy ra \(V = \frac{1}{3}.6{a^2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{3} = \frac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{3}\), do đó \(x = 2;y = 3;z = 3\) nên \(x + y + z = 8\).