Bác Cường mua \(39\) mớ rau gồm ba loại: rau muống giá \(6\) nghìn đồng một mớ, rau cải giá \(8\) nghìn đồng một mớ, rau đay giá \(4\) nghìn đồng một mớ. Biết rằng số tiền bác Cường mua mỗi loại rau là như nhau. Gọi \(x,y,z\) lần lượt là số mớ rau bác Cường mua gồm rau muống, rau cải và rau đay.

Gọi chiều dài hình chữ nhật là \[x,\] chiều rộng hình chữ nhật là \[y\] \[\left( {x > y > 0,\,\,\,{\rm{cm}}} \right)\].

Theo đề, ta có: \[3x = 4y\] nên \[\frac{x}{4} = \frac{y}{3}\] và \[xy = 48\].

Đặt \[\frac{x}{4} = \frac{y}{3} = k\] suy ra \[x = 4k;\,\,y = 3k\].

Thay \[x = 4k;\,\,y = 3k\] vào \[xy = 12\], ta được: \[4k \cdot 3k = 12\] hay \[12{k^2} = 48\] nên \[{k^2} = 4\].

Suy ra \[k = 2\] hoặc \[k = - 2\].

Vì \[0 < y < x\] nên chọn \[k = 2\].

Do đó, \[x = 8\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right);\,\,y = 6\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\].

Vậy chu vi của hình chữ nhật đó là: \[2 \cdot \left( {6 + 8} \right) = 28\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\].

Gọi độ dài ba cạnh của tam giác \(x;\,\,y;\,\,z\) \(\left( {x,\,\,y,\,\,z > 0} \right)\).

Theo đề, ta có: \(\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5}\) và \(x + y + z = 96\).

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: \(\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5} = \frac{{x + y + z}}{{3 + 4 + 5}} = \frac{{96}}{{12}} = 8\).

Suy ra \(x = 24;\,\,y = 32;\,\,z = 40\).

Độ dài cạnh lớn nhất của tam giác là 40 cm.