Biết ba cạnh của một tam giác tỉ lệ thuận với \(3;\,\,4;\,\,5\) và chu vi của nó là 96 cm. Tính độ dài cạnh lớn nhất của tam giác đó. (Đơn vị: cm)

Gọi chiều dài hình chữ nhật là \[x,\] chiều rộng hình chữ nhật là \[y\] \[\left( {x > y > 0,\,\,\,{\rm{cm}}} \right)\].

Theo đề, ta có: \[3x = 4y\] nên \[\frac{x}{4} = \frac{y}{3}\] và \[xy = 48\].

Đặt \[\frac{x}{4} = \frac{y}{3} = k\] suy ra \[x = 4k;\,\,y = 3k\].

Thay \[x = 4k;\,\,y = 3k\] vào \[xy = 12\], ta được: \[4k \cdot 3k = 12\] hay \[12{k^2} = 48\] nên \[{k^2} = 4\].

Suy ra \[k = 2\] hoặc \[k = - 2\].

Vì \[0 < y < x\] nên chọn \[k = 2\].

Do đó, \[x = 8\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right);\,\,y = 6\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\].

Vậy chu vi của hình chữ nhật đó là: \[2 \cdot \left( {6 + 8} \right) = 28\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\].

Gọi số con gà, vịt và heo lần lượt là \(x,\,\,y,\,\,z\) (con) \(\left( {x,y,z \in {\mathbb{N}^*};\,\,x,\,\,y,\,\,z < 150} \right)\).

Do tổng số con gà, vịt và heo là \(150\) con nên \(x + y + z = 150\).

Do số con gà, vịt và heo lần lượt tỉ lệ với \(6;5;4\) nên \(\frac{x}{6} = \frac{y}{5} = \frac{z}{4}\).

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau nên ta có:

\(\frac{x}{6} = \frac{y}{5} = \frac{z}{4} = \frac{{x + y + z}}{{6 + 5 + 4}} = \frac{{150}}{{15}} = 10\).

Suy ra \(x = 6.10 = 60;y = 5.10 = 50;z = 4.10 = 40\).

Vậy trại chăn nuôi gồm \(60\) con gà, \(50\) con vịt, \(40\) con heo.

Do đó, trại chăn nuôi có 50 con vịt.