Giá trị của biểu thức \[A = \frac{x}{y} + \frac{y}{x} + 2\] khi \[x = 1;\;\,\,y =  - 1\] là

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

⦁ \({x^2} - 2x = x\left( {x - 2} \right).\)

⦁ \[\frac{{x + 2}}{x} - \frac{x}{{x - 2}} = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{x\left( {x - 2} \right)}} - \frac{{{x^2}}}{{x\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{{x^2} - 4 - {x^2}}}{{x\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{ - 4}}{{x\left( {x - 2} \right)}}.\]

Khi đó, điều kiện xác định của biểu thức \(P\) là \[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x \ne 0\\x - 2 \ne 0\\\frac{{x + 2}}{x} - \frac{x}{{x - 2}} \ne 0\end{array} \right.,\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}x\left( {x - 2} \right) \ne 0\\x \ne 2\\\frac{{ - 4}}{{x\left( {x - 2} \right)}} \ne 0\end{array} \right.,\] tức là \[\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne 2\end{array} \right..\]

Vậy điều kiện xác định của biểu thức \(P\) là \(x \ne 0\) và \(x \ne 2.\)

b) Với \(x \ne 0\) và \(x \ne 2,\) ta có:

\[D = \left( {\frac{{x - 4}}{{{x^2} - 2x}} + \frac{2}{{x - 2}}} \right):\left( {\frac{{x + 2}}{x} - \frac{x}{{x - 2}}} \right)\]

\[ = \left[ {\frac{{x - 4}}{{x\left( {x - 2} \right)}} + \frac{{2x}}{{x\left( {x - 2} \right)}}} \right]:\frac{{ - 4}}{{x\left( {x - 2} \right)}}\]

\[ = \frac{{\left( {x - 4} \right) + 2x}}{{x\left( {x - 2} \right)}} \cdot \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{ - 4}} = \frac{{ - 3x + 4}}{4}.\]

Vì vậy, với \(x \ne 0\) và \(x \ne 2,\) thì \(D = \frac{{ - 3x + 4}}{4}.\)

Khi đó \(D > 0\) tức là \(\frac{{ - 3x + 4}}{4} > 0,\) do đó \( - 3x + 4 > 0\) vì \(4 > 0.\)

Suy ra \(3x < 4,\) nên \(x < \frac{4}{3}.\)

Kết hợp với điều kiện \(x \ne 0\) và \(x \ne 2,\) ta được \(x < \frac{4}{3}\) và \(x \ne 0.\)

Vậy với \(x < \frac{4}{3}\) và \(x \ne 0\) thì \(D > 0.\)

c) Để \(D\) là số nguyên âm lớn nhất thì \(D =  - 1,\) khi đó:

\(\frac{{ - 3x + 4}}{4} =  - 1\)

\( - 3x + 4 =  - 4\)

\( - 3x =  - 8\)

\(x = \frac{8}{3}\) (thoả mãn điều kiện).

Vậy với \(x = \frac{8}{3}\) thì \(D\) có giá trị là số nguyên âm lớn nhất.

Hướng dẫn giải

Ta có: \(A = \frac{1}{{a\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + \frac{1}{{b\left( {b - a} \right)\left( {b - c} \right)}} + \frac{1}{{c\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}}\)

\( = \frac{{bc\left( {b - c} \right) - ac\left( {a - c} \right) + ab\left( {a - b} \right)}}{{abc\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {a - c} \right)}}\)

\( = \frac{{bc\left( {b - c} \right) - ac\left( {a - c} \right) + ab\left( {a - b} \right)}}{{abc\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {a - c} \right)}}\)

\( = \frac{{c\left( {{b^2} - bc - {a^2} + ac} \right) + ab\left( {a - b} \right)}}{{abc\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {a - c} \right)}}\)

\( = \frac{{c\left[ {\left( {b - a} \right)\left( {b + a} \right) - c\left( {b - a} \right)} \right] + ab\left( {a - b} \right)}}{{abc\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {a - c} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {b - a} \right)\left( {ac + bc - {c^2}} \right) + ab\left( {a - b} \right)}}{{abc\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {a - c} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {a - b} \right)\left( {ab - ac - bc + {c^2}} \right)}}{{abc\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {a - c} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}{{abc\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {a - c} \right)}}\)

\( = \frac{1}{{abc}}.\)

Vậy \(A = \frac{1}{{abc}}.\)