Cho hàm số \[y = \left( {3--m} \right)x + 3m + 2.\] Tìm các giá trị của \[m\] để

a) hàm số đã cho là hàm số bậc nhất.

b) đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng đi qua điểm \[\left( {1;{\rm{ }}3} \right).\]

c) đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng cắt đường thẳng \[y = x--1\] tại một điểm nằm trên trục tung.

b) Ta có: \[E\] là trung điểm của \[AB\] nên \(AE = EB = \frac{1}{2}AB.\)

Mà \[M\] là trung điểm của \[EB\] nên \(EM = MB = \frac{1}{2}EB = \frac{1}{4}AB\) hay \(\frac{{MB}}{{AB}} = \frac{1}{4}.\)

Tương tự, ta cũng có \(NC = \frac{1}{4}AC\) hay \(\frac{{NC}}{{AC}} = \frac{1}{4}.\)

Suy ra \(\frac{{MB}}{{AB}} = \frac{{NC}}{{AC}}\,\,\left( { = \frac{1}{4}} \right).\)

Xét \(\Delta ABC\) có \(\frac{{MB}}{{AB}} = \frac{{NC}}{{AC}}\) nên \[MN\,{\rm{//}}\,BC\] (định lí Thalès đảo).

c) Ta có \[MN\,{\rm{//}}\,BC\] (câu b) và \[ED\,{\rm{//}}\,BC\] (câu a) nên \[ED\,{\rm{//}}\,MN\,{\rm{//}}\,BC.\]

Xét \(\Delta BDE\) có \[M\] là trung điểm của \[EB\] và \[MI\,{\rm{//}}\,ED\] (do \[ED\,{\rm{//}}\,MN)\]

Suy ra \[I\] là trung điểm của \[BD\] hay \[IB = ID.\]

Khi đó \[MI\] là đường trung bình của \(\Delta BDE\) nên \(MI = \frac{1}{2}ED.\)

Tương tự, trong DCDE ta cũng có \(KN = \frac{1}{2}ED,\) trong DBCE có \(MK = \frac{1}{2}BC.\)

Ta có \(IK = MK - MI = \frac{1}{2}BC - \frac{1}{2}ED = ED - \frac{1}{2}ED = \frac{1}{2}ED\).

Do đó \(MI = IK = KN = \frac{1}{2}ED\).