Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \({8^{f\left( x \right) - 2}} - 3 \cdot {4^{f\left( x \right) - 2}} + 2\left( {m + 3} \right){2^{f\left( x \right) - 2}} - 4 - 2m = 0\) có nghiệm thuộc khoảng \(\left( { - 1\,;\,\,0} \right)?\)

Đặt \(t = {2^{f\left( x \right) - 2}}\,\,\left( {t > 0} \right).\) Phương trình đã cho trở thành

\({t^3} - 3{t^2} + 2\left( {m + 3} \right)t - 2m - 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {{t^2} - 2t + 4 + 2m} \right) = 0 & (1)\).

Với \(x \in \left( { - 1\,;\,\,0} \right)\) nên \(f\left( x \right) \in \left( {0\,;\,\,2} \right)\) suy ra \(t = {2^{f\left( x \right) - 2}} \in \left( {\frac{1}{4}\,;\,\,1} \right).\)

Yêu cầu bài toán tương đương với (1) có nghiệm thuộc khoảng \(\left( {\frac{1}{4}\,;\,\,1} \right)\).

Suy ra \( - {t^2} + 2t - 4 - 2m = 0\) có nghiệm thuộc khoảng \(\left( {\frac{1}{4}\,;\,\,1} \right)\).

Hay \(m = \frac{1}{2}\left( { - {t^2} + 2t - 4} \right)\) có nghiệm thuộc khoảng \(\left( {\frac{1}{4}\,;\,\,1} \right)\).

Đặt \(g\left( t \right) = \frac{1}{2}\left( { - {t^2} + 2t - 4} \right) \Rightarrow g' & \left( t \right) = - t + 1 > 0\,\,\forall t \in \left( {\frac{1}{4}\,;\,\,1} \right)\).

Ta có bảng biến thiên:

Để phương trình có nghiệm thì \( - \frac{{57}}{{32}} < m < - \frac{3}{2}.\)

Vì \(m \in \mathbb{Z}\) nên không có giá trị nguyên nào của \(m\) để phương trình đã cho có nghiệm. Chọn A.