Cho đường thẳng \(\left( d \right):y = \left( {m + 2} \right)x + m\) (với \(m\) là tham số).

a) Tìm \(m\) để đường thẳng \(\left( d \right)\) song song với đường thẳng \(\left( {d'} \right):y =  - x + 2.\)

b) Tìm \(m\) để đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt hai trục tọa độ \(Ox,\,\,Oy\) lần lượt tại hai điểm \(A\) và \(B\) sao cho diện tích tam giác \(OAB\) bằng \(\frac{1}{2}.\)

Hướng dẫn giải

a) Để đường thẳng \(\left( d \right):y = \left( {m + 2} \right)x + m\)  song song với đường thẳng \(\left( {d'} \right):y =  - x + 2\) thì \(m + 2 =  - 1\) và \[m \ne  - 1,\] do đó \(m =  - 3\) (thỏa mãn \[m \ne  - 1).\]

Vậy \(m =  - 3.\)

b) Để đường thẳng \(\left( d \right):y = \left( {m + 2} \right)x + m\)  cắt trục \(Ox\) thì \(m + 2 \ne 0,\) hay \(m \ne  - 2.\)

Vì \(A \in Ox\) nên ta gọi \(A\left( {{x_1};0} \right)\) và vì \(B \in Oy\) nên ta gọi \(B\left( {0;{y_2}} \right).\)

Vì \(A\left( {{x_1};0} \right) \in \left( d \right):y = \left( {m + 2} \right)x + m\) nên ta có \(0 = \left( {m + 2} \right){x_1} + m,\) suy ra \({x_1} =  - \frac{m}{{m + 2}}\) (do \(m \ne  - 2).\) Do đó \(A\left( { - \frac{m}{{m + 2}};0} \right).\) Suy ra \(OA = \left| { - \frac{m}{{m + 2}}} \right| = \frac{{\left| m \right|}}{{\left| {m + 2} \right|}}.\)

Vì \(B\left( {0;{y_2}} \right) \in \left( d \right):y = \left( {m + 2} \right)x + m\) nên ta có \({y_2} = \left( {m + 2} \right) \cdot 0 + m = m.\) Do đó \(B\left( {0;m} \right).\) Suy ra \(OB = \left| m \right|.\)

Khi đó diện tích tam giác \(OAB\) vuông tại \(O\) là \({S_{OAB}} = \frac{1}{2}OA \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot \frac{{\left| m \right|}}{{\left| {m + 2} \right|}} \cdot \left| m \right| = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{m^2}}}{{\left| {m + 2} \right|}}.\)

Theo bài, \({S_{OAB}} = \frac{1}{2},\) nên \(\frac{1}{2} \cdot \frac{{{m^2}}}{{\left| {m + 2} \right|}} = \frac{1}{2},\) suy ra \({m^2} = \left| {m + 2} \right|.\)

Vì \({m^2} \ge 0\) với mọi \(m \ne  - 2\) nên ta xét hai trường hợp:

Trường hợp 1. \(m + 2 = {m^2}\)

\({m^2} - m - 2 = 0\)

\({m^2} + m - 2m - 2 = 0\)

\(m\left( {m + 1} \right) - 2\left( {m + 1} \right) = 0\)

\(\left( {m + 1} \right)\left( {m - 2} \right) = 0\)

\(m + 1 = 0\) hoặc \(m - 2 = 0\)

\(m =  - 1\) (thỏa mãn) hoặc \(m = 2\) (thỏa mãn).

Trường hợp 2. \(m + 2 =  - {m^2}\)

\({m^2} + m + 2 = 0\)

\({m^2} + 2 \cdot m \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{7}{4} = 0\)

\({\left( {m + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4} = 0\)

Vì \({\left( {m + \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(m \ne  - 2\) nên \({\left( {m + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4} > 0,\) do đó trường hợp này không xảy ra.

Vậy \(m \in \left\{ { - 1;2} \right\}.\)