1) Cho tam giác \(ABC\) có \(BC = 15{\rm{\;cm}},\,\,CA = 18{\rm{\;cm}}\) và \(AB = 12{\rm{\;cm}}.\) Gọi \(I\) và \(G\) lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và trọng tâm \(\Delta ABC.\)

a) Tính độ dài các đoạn thẳng \(CD\) và \(BD.\)

b) Chứng minh \(IG\,{\rm{//}}\,BC.\)

c) Tính độ dài đoạn thẳng \(IG.\)

2) Vì kèo mái tôn là một trong những bộ phận không thể thiếu trong cấu tạo mái nhà lợp tôn. Nó giúp chống đỡ và giảm trọng lực của những ảnh hưởng từ các yếu tố bên ngoài tác động vào (Hình a).

Hình a

Hình b

Một vì kèo mái tôn được vẽ lại như Hình b. Tính độ dài \(x\) của cây chống đứng bên và độ dài \(y\) của cánh kèo.

Hướng dẫn giải

a) Để đường thẳng \(\left( d \right):y = \left( {m + 2} \right)x + m\)  song song với đường thẳng \(\left( {d'} \right):y =  - x + 2\) thì \(m + 2 =  - 1\) và \[m \ne  - 1,\] do đó \(m =  - 3\) (thỏa mãn \[m \ne  - 1).\]

Vậy \(m =  - 3.\)

b) Để đường thẳng \(\left( d \right):y = \left( {m + 2} \right)x + m\)  cắt trục \(Ox\) thì \(m + 2 \ne 0,\) hay \(m \ne  - 2.\)

Vì \(A \in Ox\) nên ta gọi \(A\left( {{x_1};0} \right)\) và vì \(B \in Oy\) nên ta gọi \(B\left( {0;{y_2}} \right).\)

Vì \(A\left( {{x_1};0} \right) \in \left( d \right):y = \left( {m + 2} \right)x + m\) nên ta có \(0 = \left( {m + 2} \right){x_1} + m,\) suy ra \({x_1} =  - \frac{m}{{m + 2}}\) (do \(m \ne  - 2).\) Do đó \(A\left( { - \frac{m}{{m + 2}};0} \right).\) Suy ra \(OA = \left| { - \frac{m}{{m + 2}}} \right| = \frac{{\left| m \right|}}{{\left| {m + 2} \right|}}.\)

Vì \(B\left( {0;{y_2}} \right) \in \left( d \right):y = \left( {m + 2} \right)x + m\) nên ta có \({y_2} = \left( {m + 2} \right) \cdot 0 + m = m.\) Do đó \(B\left( {0;m} \right).\) Suy ra \(OB = \left| m \right|.\)

Khi đó diện tích tam giác \(OAB\) vuông tại \(O\) là \({S_{OAB}} = \frac{1}{2}OA \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot \frac{{\left| m \right|}}{{\left| {m + 2} \right|}} \cdot \left| m \right| = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{m^2}}}{{\left| {m + 2} \right|}}.\)

Theo bài, \({S_{OAB}} = \frac{1}{2},\) nên \(\frac{1}{2} \cdot \frac{{{m^2}}}{{\left| {m + 2} \right|}} = \frac{1}{2},\) suy ra \({m^2} = \left| {m + 2} \right|.\)

Vì \({m^2} \ge 0\) với mọi \(m \ne  - 2\) nên ta xét hai trường hợp:

Trường hợp 1. \(m + 2 = {m^2}\)

\({m^2} - m - 2 = 0\)

\({m^2} + m - 2m - 2 = 0\)

\(m\left( {m + 1} \right) - 2\left( {m + 1} \right) = 0\)

\(\left( {m + 1} \right)\left( {m - 2} \right) = 0\)

\(m + 1 = 0\) hoặc \(m - 2 = 0\)

\(m =  - 1\) (thỏa mãn) hoặc \(m = 2\) (thỏa mãn).

Trường hợp 2. \(m + 2 =  - {m^2}\)

\({m^2} + m + 2 = 0\)

\({m^2} + 2 \cdot m \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{7}{4} = 0\)

\({\left( {m + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4} = 0\)

Vì \({\left( {m + \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(m \ne  - 2\) nên \({\left( {m + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4} > 0,\) do đó trường hợp này không xảy ra.

Vậy \(m \in \left\{ { - 1;2} \right\}.\)