Một tàu chở hàng đang đậu tại vị trí A cách bờ biển một khoảng AB bằng 5 km. Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng là 7 km. Người lái tàu muốn chở hàng về kho phải đi thuyền từ A đến điểm M trên bờ biển với vận tốc 4 km/h rồi dùng xe đẩy hàng đến C với vận tốc 6 km/h (xem hình vẽ dưới đây).

Tính độ dài đoạn BM để hàng được chuyển đến kho nhanh nhất (đơn vị: km).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: ĐỀ THI THAM KHẢO ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI - ĐỀ SỐ 2 !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án:

2 căn 5

Trước tiên, ta xây dựng hàm số $f\left( x \right)$ là hàm số tính thời gian hàng được chuyển đi.

Đặt $BM = x$ (km, 0 ≤ x ≤ 7) thì ta được: $MC = 7 - x,\,\,\,AM = \sqrt {{x^2} + 25} $. Theo đề bài, người lái tàu có thể đi thuyền từ A đến điểm M trên bờ biển với vận tốc 4 km/h rồi dùng xe đẩy hàng đến C với vận tốc 6 km/h, như vậy ta có hàm số $f\left( x \right)$ được xác định như sau:

$f\left( x \right) = \frac{{\sqrt {{x^2} + 25} }}{4} + \frac{{7 - x}}{6} = \frac{{3\sqrt {{x^2} + 25} - 2x + 14}}{{12}}$ với $x \in \left[ {0;7} \right]$.

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của $f\left( x \right)$ để có được thời gian ngắn nhất và từ đó xác định được vị trí điểm M.

Ta có $f'\left( x \right) = \frac{1}{{12}}\left( {\frac{{3x}}{{\sqrt {{x^2} + 25} }} - 2} \right).$

$f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow \frac{3 x}{\sqrt{x^{2} + 25}} - 2 = 0 \Leftrightarrow 3 x - 2 \sqrt{x^{2} + 25} = 0$

$\Leftrightarrow 2 \sqrt{x^{2} + 25} = 3 x \Leftrightarrow \{\begin{cases} 5 x^{2} = 100 \\ x \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \pm 2 \sqrt{5} \\ x \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow x = 2 \sqrt{5}$

Hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {0;7} \right]$ và ta có:

$f\left( 0 \right) = \frac{{29}}{{12}}\,\,,\,\,f\left( {2\sqrt 5 } \right) = \frac{{14 + 5\sqrt 5 }}{{12}},\,\,f\left( 7 \right) = \frac{{\sqrt {74} }}{4}.$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $f\left( x \right)$ là $\frac{{14 + 5\sqrt 5 }}{{12}}$tại $x = 2\sqrt 5 .$ Khi đó thời gian đi là ít nhất và điểm M nằm cách B một đoạn $BM = x = 2\sqrt 5 $ (km).

Trả lời: $2\sqrt 5 $.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

(1 điểm). Một biển quảng cáo có dạng hình vuông $ABCD$ cạnh $AB = 4{\rm{m}}$. Trên tấm biển đó có các đường tròn tâm $A$ và đường tròn tâm $B$ cùng bán kính $R = 4{\rm{m}}$, hai đường tròn cắt nhau như hình vẽ. Chi phí để sơn phần gạch chéo là $150{\rm{ 000}}$ đồng/${{\rm{m}}^2}$, chi phí sơn phần màu xám là $100{\rm{ 000}}$ đồng/${{\rm{m}}^2}$ và chi phí để sơn phần còn lại là $250{\rm{ 000}}$ đồng/${{\rm{m}}^2}$. Tính số tiền để sơn biển quảng cáo theo cách trên.

$Một biển quảng cáo có dạng hình vuông $ABCD$ cạ (ảnh 1)$

Xem đáp án

Lời giải

Gọi $I$ là giao điểm của 2 cung tròn . Chọn gốc toạ độ $A\left( {0;0} \right)$ và hệ trục tọa độ $Axy$ như hình vẽ$ \Rightarrow B\left( {4;0} \right)$.

$Một biển quảng cáo có dạng hình vuông $ABCD$ cạ (ảnh 2)$

Xét cung tròn có phương trình $y = \sqrt {16 - {x^2}} $.

Phần diện tích gạch chéo $S = 2 \cdot \int\limits_2^4 {\sqrt {16 - {x^2}} } {\rm{d}}x = \frac{{16\pi }}{3} - 4\sqrt 3 $ (m²).

Phần diện tích màu xám: $2 \cdot \left( {\frac{1}{4}\pi \cdot {4^2} - \frac{{16\pi }}{3} + 4\sqrt 3 } \right) = \frac{{ - 8\pi }}{3} + 8\sqrt 3 $ (m²).

Phần diện tích còn lại: $16 - \left( {\frac{{16\pi }}{3} - 4\sqrt 3 + \frac{{ - 8\pi }}{3} + 8\sqrt 3 } \right) = 16 - \frac{{8\pi }}{3} - 4\sqrt 3 $ (m²).

Số tiền để sơn biển quảng cáo:

\[\left( {\frac{{16\pi }}{3} - 4\sqrt 3 } \right) \cdot 150{\rm{ 000 + }}\left( {\frac{{ - 8\pi }}{3} + 8\sqrt 3 } \right) \cdot 100{\rm{ 000}} + \left( {16 - \frac{{8\pi }}{3} - 4\sqrt 3 } \right) \cdot 250{\rm{ 000}}\, \approx 2\,195\,480\] đồng.

Câu 2

Một xét nghiệm Covid–19 cho kết quả dương tính với $90\% $ các trường hợp thực sự nhiễm virus và cho kết quả âm tính với $80\% $ các trường hợp thực sự không nhiễm virus. Biết rằng tỉ lệ người nhiễm Covid–19 trong một cộng đồng nào đó là $1\% $. Một người trong cộng đồng đó cho kết quả xét nghiệm dương tính. Tính xác suất để người đó thực sự bị nhiễm virus.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi $A$ là biến cố “Người đó bị nhiễm virus”.

$B$ là biến cố “Người đó cho kết quả dương tính”.

Xét nghiệm Covid–19 cho kết quả dương tính với $90\% $ các trường hợp thực sự nhiễm virus nên$P\left( {B|A} \right) = 0,9$ và xét nghiệm Covid–19 cho kết quả âm tính với $80\% $ các trường hợp thực sự không nhiễm virus, nên cho kết quả dương tính với $20\% $ các trường hợp không thực sự nhiễm virus, do đó $P\left( {B|\bar A} \right) = 0,2$.

Ta có $P\left( A \right) = 0,01 \Rightarrow P\left( {\bar A} \right) = 0,99$.

Do đó xác suất để người đó cho kết quả dương tính là:

$P\left( B \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\bar A} \right) \cdot P\left( {B|\bar A} \right) = 0,01 \cdot 0,9 + 0,99 \cdot 0,2 = 0,207$.

Xác suất để người nhiễm virus cho kết quả dương tính là:

$P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,01 \cdot 0,9}}{{0,207}} = \frac{1}{{23}}$.

Trả lời: $\frac{1}{{23}}$.

Câu 3