(1 điểm). Cho hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng \(4\). Gọi hai điểm \(M\) và \(I\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(MC\). Một parabol có đỉnh là \(D\) và đi qua điểm \(B\), đường tròn tâm \(I\) đường kính \(MC\) như hình vẽ. Tính thể tích \(V\) của vật thể được tạo thành khi quay miền \(\left( R \right)\) (phần được gạch chéo) quanh trục \(AD\).

Vì \(A'M \cap \left( {AB'C} \right) = B'\).

Suy ra \(d\left( {M,\left( {AB'C} \right)} \right) = \frac{{MB'}}{{A'B'}} \cdot d\left( {A',\left( {AB'C} \right)} \right) = \frac{2}{3} \cdot d\left( {A',\left( {AB'C} \right)} \right) = \frac{2}{3} \cdot d\left( {B,\left( {AB'C} \right)} \right)\).

Từ \(B\) kẻ \(BN \bot AC\) tại \(N\), kẻ \(BH \bot B'N\) tại \(H\) thì \(d\left( {B,\left( {AB'C} \right)} \right) = BH\).

Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\) nên \(BN = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Tam giác \(B'BN\) vuông tại \(B\) nên \(BH = \frac{{BB' \cdot BN}}{{\sqrt {B{{B'}^2} + B{N^2}} }} = \frac{{2\sqrt {57} a}}{{19}}\).

Vậy \(d\left( {M,\left( {AB'C} \right)} \right) = \frac{2}{3} \cdot d\left( {B,\left( {AB'C} \right)} \right) = \frac{2}{3}BH = \frac{2}{3} \cdot \frac{{2\sqrt {57} a}}{{19}} = \frac{{4\sqrt {57} a}}{{57}}\).

Gọi \(h\left( t \right)\) là độ cao của viên đạn bắn lên từ mặt đất sau \(t\) giây kể từ thời điểm đạn được bắn lên.

Khi đó \(h\left( t \right) = \int {v\left( t \right)} \,{\rm{dt}} = \int {\left( {25 - 9,8t} \right)} \,{\rm{dt}} = 25t - 4,9{t^2} + C\,\,\left( {\rm{m}} \right)\).

Do \[h\left( 0 \right) = 1\] nên \(C = 1\) \( \Rightarrow h\left( t \right) = - 4,9{t^2} + 25t + 1\,\,\left( {\rm{m}} \right)\).

Vậy viên đạn đạt độ cao lớn nhất là \(h = - \frac{\Delta }{{4a}} = \frac{{3223}}{{98}}\,\,\left( {\rm{m}} \right)\) khi \(t = - \frac{b}{{2a}} = \frac{{125}}{{49}}\) giây. Chọn B.