(1 điểm). Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $4$. Gọi hai điểm $M$ và $I$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $MC$. Một parabol có đỉnh là $D$ và đi qua điểm $B$, đường tròn tâm $I$ đường kính $MC$ như hình vẽ. Tính thể tích $V$ của vật thể được tạo thành khi quay miền $\left( R \right)$ (phần được gạch chéo) quanh trục $AD$.

$Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằ (ảnh 1)$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: ĐỀ THI THAM KHẢO ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI - ĐỀ SỐ 4 !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằ (ảnh 2)$

Xét hệ trục tọa độ có gốc tọa độ đặt tại điểm D và tia Ox trùng với tia DC, tia Oy trùng với tia DA.

Parabol $\left( P \right)$: $y = a{x^2}$ đi qua $B\left( {4;4} \right)$ nên $4 = {4^2} \cdot a \Rightarrow a = \frac{1}{4}$, suy ra $y = \frac{1}{4}{x^2} \Rightarrow x = 2\sqrt y $.

Ta xác định được $M\left( {2;4} \right)$ và $C\left( {4;\,0} \right)$ nên đường tròn có tâm $I\left( {3;\,2} \right)$ và bán kính $R = IC = \sqrt {{2^2} + {1^2}} = \sqrt 5 $ có phương trình là ${\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 5$.

Suy ra \[{\left( {x - 3} \right)^2} = 5 - {\left( {y - 2} \right)^2} \Leftrightarrow 3 - x = \sqrt {5 - {{\left( {y - 2} \right)}^2}} \Leftrightarrow x = 3 - \sqrt {5 - {{\left( {y - 2} \right)}^2}} \].

Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( P \right)$ và đường tròn là: ${\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{4}{x^2} - 2} \right)^2} = 5$.

$\left( P \right)$ và đường tròn có hai giao điểm là $B\left( {4;\,4} \right)$ và $N\left( {{x_N};\,{y_N}} \right) \Rightarrow $${x_N} \approx 1,37 \Rightarrow {y_N} \approx 0,469225$.

Thể tích vật thể cần tính là: $V = \pi \int\limits_0^{0,469225} {{{\left( {2\sqrt y } \right)}^2}{\rm{d}}y} + \pi \int\limits_{0,469225}^4 {{{\left( {3 - \sqrt {5 - {{\left( {y - 2} \right)}^2}} } \right)}^2}{\rm{d}}y} \approx 14,46$.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

(1 điểm). Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, $AA' = 2a$. Gọi $M$ là điểm trên cạnh $A'B'$, $A'M = \frac{a}{3}$. Tính khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $\left( {AB'C} \right)$.

Xem đáp án

Lời giải

$Ta có \(2 \cdot {5^{x + 2}} (ảnh 1)$

Vì $A'M \cap \left( {AB'C} \right) = B'$.

Suy ra $d\left( {M,\left( {AB'C} \right)} \right) = \frac{{MB'}}{{A'B'}} \cdot d\left( {A',\left( {AB'C} \right)} \right) = \frac{2}{3} \cdot d\left( {A',\left( {AB'C} \right)} \right) = \frac{2}{3} \cdot d\left( {B,\left( {AB'C} \right)} \right)$.

Từ $B$ kẻ $BN \bot AC$ tại $N$, kẻ $BH \bot B'N$ tại $H$ thì $d\left( {B,\left( {AB'C} \right)} \right) = BH$.

Tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ nên $BN = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Tam giác $B'BN$ vuông tại $B$ nên $BH = \frac{{BB' \cdot BN}}{{\sqrt {B{{B'}^2} + B{N^2}} }} = \frac{{2\sqrt {57} a}}{{19}}$.

Vậy $d\left( {M,\left( {AB'C} \right)} \right) = \frac{2}{3} \cdot d\left( {B,\left( {AB'C} \right)} \right) = \frac{2}{3}BH = \frac{2}{3} \cdot \frac{{2\sqrt {57} a}}{{19}} = \frac{{4\sqrt {57} a}}{{57}}$.

Câu 2

Biết rằng số lượng hành khách đang nợ ngân hàng chia thành ba đối tượng: đối tượng $1$: dưới $20$ tỷ chiếm $81,3\% $; đối tượng$\;2$: từ $20$ tỷ đến $38$ tỷ chiếm $8,7\% $; đối tượng $3$: trên $38$ tỷ chiếm $10\% $. Xác suất trả được nợ ngân hàng của một khách hàng thuộc một trong ba đối tượng trên là:$\;0,85$; $0,7$; $0,35$. Giả sử một khách hàng không trả được nợ ngân hàng, tính xác suất để khách hàng đó thuộc đối tượng $1$.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi ${H_1}$ là biến cố “chọn được khách hàng thuộc đối tượng $1$”; ${H_2}$ là biến cố “chọn được khách hàng thuộc đối tượng $2$”; ${H_3}$ là biến cố “chọn được khách hàng thuộc đối tượng $3$”.

Gọi A là biến cố “khách hàng đó trả được nợ ngân hàng”.

Theo đề bài ta có: $P\left( {{H_1}} \right) = 0,813;\;P\left( {{H_2}} \right) = 0,087;\;P\left( {{H_3}} \right) = 0,1$.

$P\left( {A|{H_1}} \right)$ là xác suất để một khách hàng trả được nợ với điều kiện khách hàng đó thuộc đối tượng 1

Þ$P\left( {A|{H_1}} \right) = 0,85$.

$P\left( {A|{H_2}} \right)$ là xác suất để một khách hàng trả được nợ với điều kiện khách hàng đó thuộc đối tượng 2

Þ$P\left( {A|{H_2}} \right) = 0,7$.

$P\left( {A|{H_3}} \right)$ là xác suất để một khách hàng trả được nợ với điều kiện khách hàng đó thuộc đối tượng 3

Þ$P\left( {A|{H_3}} \right) = 0,35$.

Theo công thức Bayes ta có:

$P\left( {{H_1}|\overline A } \right) = \frac{{P\left( {{H_1}} \right) \cdot P\left( {\overline A |{H_1}} \right)}}{{1 - \left[ {P\left( {{H_1}} \right) \cdot P\left( {A|{H_1}} \right) + P\left( {{H_2}} \right) \cdot P\left( {A|{H_2}} \right) + P\left( {{H_3}} \right) \cdot P\left( {A|{H_3}} \right)} \right]}}$

$ = \frac{{0,813 \cdot \left( {1 - 0,85} \right)}}{{1 - \left( {0,813 \cdot 0,85 + 0,087 \cdot 0,7 + 0,1 \cdot 0,35} \right)}} = \frac{{2439}}{{4261}}$.

Trả lời: $\frac{{2439}}{{4261}}$.

Câu 3