Một công ty đang triển khai chiến dịch quảng cáo cho sản phẩm mới. Số tiền đầu tư cho quảng cáo là \(x\) (triệu đồng). Theo kết quả nghiên cứu thị trường, số lượng sản phẩm sản xuất và bán ra phụ thuộc vào chi phí quảng cáo theo hàm \(Q\left( x \right) = 1250 + \frac{{507}}{2}\ln \left( {3 + x} \right)\) (đơn vị sản phẩm). Biết rằng, chi phí sản xuất mỗi sản phẩm là \(13\) triệu đồng và giá bán mỗi sản phẩm là \(21\) triệu đồng. Giá trị lợi nhuận tối đa mà công ty có thể đạt được là \(p\) tỷ đồng (số \(p\) được làm tròn đến hàng phần mười). Tìm số \(p\).

a) Sai. Ta có \(y' = f'\left( x \right) = {\left( {\ln x - 2{x^2}} \right)^\prime } = \frac{1}{x} - 4x \ge 0\) khi \(x \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right]\).

Do đó hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\).

b) Đúng. Ta có \(f\left( 1 \right) = \ln 1 - 2 \cdot {1^2} = - 2\); \(f\left( {{e^2}} \right) = \ln {e^2} - 2 \cdot {\left( {{e^2}} \right)^2} = 2 - 2 \cdot {e^4}\).

c) Sai. Ta có . Vậy hàm số có một điểm cực trị.

d) Sai. Ta có \(f\left( 1 \right) = - 2;\,f\left( {{e^2}} \right) = 2 - 2{e^4}\). Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\min }\limits_{\left[ {1\,;\,{e^2}} \right]} f\left( x \right) = 2 - 2{e^4}\\\mathop {\max }\limits_{\left[ {1\,;\,{e^2}} \right]} f\left( x \right) = - 2\end{array} \right.\).

Nên \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {1\,;{e^2}} \right]} f\left( x \right) + \mathop {\max }\limits_{\left[ {1\,;\,{e^2}} \right]} f\left( x \right) = - 2{e^4}\).

Chọn ngẫu nhiên 1 bóng đèn do phân xưởng sản xuất.

Gọi C là biến cố: “bóng đèn đó đạt chuẩn” và L là biến cố: “bóng đèn đó bị thiết bị S loại”.

Theo bài ra ta có \(P\left( C \right) = 0,95;P\left( {L|\overline C } \right) = 0,99;P\left( {C|L} \right) = 0,1\).

Suy ra \(P\left( L \right) = \frac{{P\left( {L\mid \overline C } \right)P\left( {\overline C } \right)}}{{P\left( {\overline C \mid L} \right)}} = \frac{{0,99 \cdot 0,05}}{{1 - 0,1}} = \frac{{11}}{{200}}\) và \(P\left( {CL} \right) = P\left( {C|L} \right) \cdot P\left( L \right) = 0,1 \cdot \frac{{11}}{{200}} = \frac{{11}}{{2000}}\).

Xác suất bóng đèn được chọn đạt chuẩn biết rằng nó không bị thiết bị S loại là

\(P\left( {C|\overline L } \right) = \frac{{P\left( {C\overline L } \right)}}{{P\left( {\overline L } \right)}} = \frac{{P\left( C \right) - P\left( {CL} \right)}}{{1 - P\left( L \right)}} = \frac{{1889}}{{1890}}\).

Trả lời: \(\frac{{1889}}{{1890}}\).