Cho parabol \(\left( P \right):{y^2} = 4x\) và đường thẳng \(d:2x - y - 4 = 0.\) Gọi \[A,\,\,B\] là giao điểm của \(d\) và \(\left( P \right)\). Tìm tung độ dương của điểm \(C \in \left( P \right)\) sao cho \(\Delta ABC\) có diện tích bằng 12 (nhập đáp án vào ô trống).

Đáp án  __

Ta có phương trình tung độ giao điểm của \(d\) và \(\left( P \right)\) là:

\(\frac{{{y^2}}}{4} = \frac{{y + 4}}{2} \Leftrightarrow {y^2} - 2y - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 4 \Rightarrow x = 4}\\{y = - 2 \Rightarrow x = 1}\end{array}} \right..\)

\( \Rightarrow d\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm là: \[A\left( {4\,;\,\,4} \right),\,\,B\left( {1\,;\,\, - 2} \right).\]

\(C \in \left( P \right) \Rightarrow C = \left( {{c^2}\,;\,\,2c} \right){\rm{. }}\)

Ta có \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}d\left( {C,AB} \right) \cdot AB\)\[ = \frac{1}{2} \cdot \frac{{\left| {2{c^2} - 2c - 4} \right|}}{{\sqrt 5 }} \cdot \sqrt {{{\left( {1 - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - 4} \right)}^2}} \]

\( = \frac{1}{2} \cdot \frac{{\left| {2{c^2} - 2c - 4} \right|}}{{\sqrt 5 }} \cdot 3\sqrt 5 \)\( = \frac{3}{2} \cdot \left| {2{c^2} - 2c - 4} \right|\).

Mà \({S_{\Delta ABC}} = 12 \Leftrightarrow \frac{3}{2} \cdot \left| {2{c^2} - 2c - 4} \right| = 12\)\( \Leftrightarrow \left| {6{c^2} - 6c - 12} \right| = 24 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{c^2} - c - 6 = 0}\\{{c^2} - c + 2 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = - 2}\\{c = 3}\end{array}.} \right.} \right.\)

Vậy tung độ dương của điểm C là 6.

Đáp án cần nhập là: 6.