Cho \[x,\,\,y\] là các số thực lớn hơn 1 và thỏa mãn \({x^2} - 6{y^2} = xy.\) Tính giá trị của biểu thức \(M = \frac{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}}{{2{{\log }_{12}}\left( {x + 3y} \right)}}.\)

           

Ta có \({x^2} - 6{y^2} = xy \Leftrightarrow {x^2} - xy - 6{y^2} = 0\) (*).

Do \[x,\,\,y\] là các số thực dương lớn hơn 1 nên ta chia cả 2 vế của \((*)\) cho \({y^2}\) ta được:

\({\left( {\frac{x}{y}} \right)^2} - \frac{x}{y} - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{x}{y} = 3}\\{\frac{x}{y} = - 2}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3y}\\{x = - 2y\quad (L)}\end{array} \Rightarrow x = 3y} \right.} \right.\) (1).

Mặt khác: \(M = \frac{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}}{{2{{\log }_{12}}\left( {x + 3y} \right)}} = \frac{{{{\log }_{12}}12xy}}{{{{\log }_{12}}{{\left( {x + 3y} \right)}^2}}}\) (2).

Thay (1) vào (2) ta có: \(M = \frac{{{{\log }_{12}}36{y^2}}}{{{{\log }_{12}}36{y^2}}} = 1.\) Chọn B.