Cho a, b là hai số thực dương thoả mãn\({\log _{3a + 2b + 1}}\left( {9{a^2} + {b^2} + 1} \right) + {\log _{6ab + 1}}(3a + 2b + 1) = 2.\)Giá trị của \(a + 3b\) bằng (nhập đáp án vào ô trống):

Đáp án  __

Ta có \({\left( {3a - b} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow 9{a^2} - 6ab + {b^2} \ge 0 \Leftrightarrow 9{a^2} + {b^2} \ge 6ab\).

Do đó \(2 = {\log _{3a + 2b + 1}}\left( {9{a^2} + {b^2} + 1} \right) + {\log _{6ab + 1}}\left( {3a + 2b + 1} \right)\)

\( \ge {\log _{3a + 2b + 1}}\left( {6ab + 1} \right) + {\log _{6ab + 1}}\left( {3a + 2b + 1} \right)\)\( \ge 2\sqrt {{{\log }_{3a + 2b + 1}}\left( {6ab + 1} \right) \cdot {{\log }_{6ab + 1}}\left( {3a + 2b + 1} \right)} = 2\).

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3a - b = 0}\\{{{\log }_{3a + 2b + 1}}\left( {6ab + 1} \right) = 1}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = 3a}\\{6ab + 1 = 3a + 2b + 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = 3a}\\{6a \cdot 3a + 1 = 3a + 2 \cdot 3a + 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = 3a}\\{18{a^2} - 9a = 0}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)\( \Leftrightarrow \left( {a\,;\,\,b} \right) = \left( {\frac{1}{2}\,;\,\,\frac{3}{2}} \right)\).

Do đó \(a + 3b = \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{3}{2} = \frac{{10}}{2} = 5.\)