Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\). Tính diện tích toàn phần của hình nón thu được khi quay tam giác \[AA'C\] quanh trục \(AA'\).

Ta có công thức tính thể tích hình nón có chiều cao \(h\) và bán kính \(r\) là \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h\)

+ Khi quay tam giác \(ABC\) quanh cạnh \(AB\) thì:

\(h = AB = 6cm\) và \(r = AC = 8cm\) thì \({V_1} = \frac{1}{3}\pi {.8^2}.6 = 128\pi \)

+ Khi quay tam giác \(ABC\) quanh cạnh \(AC\) thì:

\(h = AC = 8cm\) và \(r = AB = 6cm\) thì \({V_2} = \frac{1}{3}\pi {.6^2}.8 = 96\pi \)

Vậy: \[\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{4}{3}\]

Theo giả thiết mỗi chiếc nón lá là một hình nón có bán kính đáy\(R = \frac{{50}}{2} = 25\,\left( {cm} \right) = 0,25\,\left( m \right)\) và đường cao \(h = 30\,\left( {cm} \right) = 0,3\,\left( m \right)\).

Gọi \(l\) là chiều cao của hình nón\( \Rightarrow l = \sqrt {{R^2} + {h^2}}  = \frac{{\sqrt {61} }}{{20}}\,\,\left( m \right)\).

Diện tích xung quanh của 1 chiếc nón lá là \({S_{xq}} = \pi Rl = \pi .0,25.\frac{{\sqrt {61} }}{{20}} = \frac{{\pi \sqrt {61} }}{{80}}\,\,\left( {{m^2}} \right)\)

Tổng diện tích xung quanh của 1000 chiếc nón là \(S = 1000.\frac{{\pi \sqrt {61} }}{{80}} = \frac{{25\pi \sqrt {61} }}{2}\,\,\left( {{m^2}} \right)\)

Do đó khối lượng lá cần dùng là \(\frac{S}{{6,13}} \approx 50,03\,\left( {kg} \right)\).