Cho tam giác vuông \[H\] tại\(ABC\),\(A\) và\(\widehat {BAC} = 60^\circ \). Khi quay tam giác \[R = HC = 2\] xung quanh trục \(\Delta AHC\), ta thu được hình nón.

a) Tính độ dài đường sinh \(\widehat {HAC} = 30^\circ \) của hình nón

b) Tính thể tích hình nón.

Quay tam giác \[AA'C\] một vòng quanh trục \(AA'\) tạo thành hình nón có chiều cao \(AA' = a\), bán kính đáy \[r = AC = a\sqrt 2 \], đường sinh \(l = A'C = \sqrt {AA{'^2} + A{C^2}}  = a\sqrt 3 \).

Diện tích toàn phần của hình nón: \(S = \pi r\left( {r + l} \right) = \pi a\sqrt 2 \left( {a\sqrt 2  + a\sqrt 3 } \right) = \pi \left( {\sqrt 6  + 2} \right){a^2}\).

Ta có công thức tính thể tích hình nón có chiều cao \(h\) và bán kính \(r\) là \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h\)

+ Khi quay tam giác \(ABC\) quanh cạnh \(AB\) thì:

\(h = AB = 6cm\) và \(r = AC = 8cm\) thì \({V_1} = \frac{1}{3}\pi {.8^2}.6 = 128\pi \)

+ Khi quay tam giác \(ABC\) quanh cạnh \(AC\) thì:

\(h = AC = 8cm\) và \(r = AB = 6cm\) thì \({V_2} = \frac{1}{3}\pi {.6^2}.8 = 96\pi \)

Vậy: \[\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{4}{3}\]