Một doanh nghiệp kinh doanh một loại sản phẩm \(T\) được sản xuất trong nước. Qua nghiên cứu thấy rằng nếu chi phí sản xuất mỗi sản phẩm \(T\) là \(x\left( {USD} \right)\) thì số sản phẩm \(T\) các nhà máy sản xuất sẽ là \(R\left( x \right) = 30x - 200\) và số sản phẩm \(T\) mà doanh nghiệp bán được trên thị trường trong nước sẽ là \(Q\left( x \right) = 3000 - 10x\).

Số sản phẩm còn dư doanh nghiệp xuất khẩu ra thị trường quốc tế với giá bán mỗi sản phẩm ổn định trên thị trường quốc tế là \(150\left( {USD} \right)\). Nhà nước đánh thuế trên mỗi sản phẩm xuất khẩu là \(a\left( {USD} \right)\) và luôn đảm bảo tỉ lệ giữa lợi nhuận từ việc xuất khẩu của doanh nghiệp và thuế thu được của nhà nước tương ứng là 4:1. Hãy tìm giá trị của \(a\) biết lợi nhuận mà doanh nghiệp thu được từ việc xuất khẩu là nhiều nhất.

   Đáp án: \(11,7\)

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Lúc khó: \(A\left( {0,0,0} \right),B\left( {20,0,0} \right),D\left( {0,20,0} \right),D\prime \left( {0,20,20} \right)\)

- Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AD\prime \) là \(\overrightarrow {AD'} = \left( {0,20,20} \right)\) và độ dài \(\left| {\overrightarrow {AD'} } \right| = 20\sqrt 2 \)

Kiến vàng đi thẳng từ \(A\) đến \(D'\) với vận tốc \(2{\rm{ cm/s}}\)

⇒ Vectơ vận tốc kiến vàng: \({\vec v_1} = \frac{{\overrightarrow {AD'} }}{{\left| {\overrightarrow {AD'} } \right|}}.{v_1} = \left( {0;\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\)

- Vectơ chỉ phương đường thẳng \(DB\) là \(\overrightarrow {DB} = \left( {20, - 20,0} \right)\) và độ dài \(\left| {\overrightarrow {DB} } \right| = 20\sqrt 2 \)

Kiến đen đi thẳng từ \(D\) đến \(B\) với vận tốc \(3{\rm{ cm/s}}\).

⇒ Vectơ vận tốc kiến đen: \({\vec v_2} = \frac{{\overrightarrow {BD} }}{{\left| {BD} \right|}}.{v_2} = \left( {\frac{3}{{\sqrt 2 }}, - \frac{3}{{\sqrt 2 }},0} \right)\)

Gọi \(t\) (giây) là thời gian kể từ lúc xuất phát.

* Vị trí kiến vàng tại thời điểm t là \(M\left( t \right) = \left( {0,\sqrt 2 t,\sqrt 2 t} \right)\)

* Vị trí kiến đen tại thời điểm t là \(N\left( t \right) = \left( {\frac{3}{{\sqrt 2 }}t,20 - \frac{3}{{\sqrt 2 }}t,0} \right)\)

Khoảng cách giữa hai chú kiến là \(MN\) và

\(M{N^2}(t){\rm{ }} = {\left( {\frac{3}{{\sqrt 2 }}t} \right)^2} + {\left( {20 - \frac{3}{{\sqrt 2 }}t - \sqrt 2 t} \right)^2} + {(\sqrt 2 t)^2} = 19{t^2} - 100\sqrt 2 t + 400\)

Giá trị nhỏ nhất của \(M{N^2}\) đạt được khi: \(t = \frac{{50\sqrt 2 }}{{19}}\)

Khi đó: \(M{N_{\min }} = \sqrt {\frac{{2600}}{{19}}} \approx 11,7\left( {\;{\rm{cm}}} \right)\)

Đáp án: –37.

+ Gọi C: “lấy được 3 bi đỏ từ hộp\[C\]”

                        \[{B_i}\]: “lấy \[i\]bi đỏ hộp\[B\]”

                        \({A_i}\): “Lấy \[i\]bi đổ hộp\[A\]”

+ Ta có

             \[\begin{array}{l}P\left( C \right) = P\left( {{A_0}} \right)P\left( {{B_1}/{A_0}} \right)P\left( {C/{B_1}} \right) + P\left( {{A_0}} \right)P\left( {{B_2}/{A_0}} \right)P\left( {C/{B_2}} \right) + P\left( {{A_1}} \right)P\left( {{B_1}/{A_1}} \right)P\left( {C/{B_1}} \right) + \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + P\left( {{A_1}} \right)P\left( {{B_2}/{A_1}} \right)P\left( {C/{B_2}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{3}{8}.\frac{{2.3}}{{C_5^2}}.\frac{1}{{C_6^3}} + \frac{3}{8}.\frac{1}{{C_5^2}}.\frac{{C_4^3}}{{C_6^3}} + \frac{5}{8}.\frac{{2.3}}{{C_5^2}}.\frac{1}{{C_6^3}} + \frac{5}{8}.\frac{{C_3^2}}{{C_5^2}}.\frac{{C_4^3}}{{C_6^3}} = \frac{3}{{40}} \Rightarrow a = 3;b = 40.\end{array}\]

Vậy \[a - 40 = - 37\].